Trouver les primitives d'une fonction sous forme u'/sqrt(u) Exercice

On se place sur l'ensemble des réels x afin que x\sqrt{\ln\left(x\right)} soit défini et non nul.

Pour cela, on peut restreindre l'étude à l'intervalle ]1 ; +\infty[.

On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{\sqrt{u}} .

On a f(x) = \dfrac{1}{x\sqrt{\ln(x)}}=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\sqrt{\ln(x)}}.

u(x) = \ln{\left(x \right)}
et
u'(x) = \frac{1}{x}

On sait que la dérivée de \sqrt{u} est :
\left( \sqrt{u} \right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

Donc une primitive de \dfrac{u'}{\sqrt{u}} est 2 \sqrt{u} .

Ici, une primitive de x \mapsto \frac{1}{x \sqrt{\ln{\left(x \right)}}} sera x \mapsto 2 \sqrt{\ln{\left(x \right)}} .

On se place sur l'ensemble des réels x afin que \sqrt{\sin\left(x\right)} soit défini et non nul.

Pour cela, on peut restreindre l'étude à l'intervalle ]0 ; \dfrac{\pi}{2}[.

On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{\sqrt{u}} .

Ici :
u(x) = \sin{\left(x \right)}
et
u'(x) = \cos{\left(x \right)}

On sait que la dérivée de \sqrt{u} est :
\left( \sqrt{u} \right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

Donc une primitive de \dfrac{u'}{\sqrt{u}} est 2 \sqrt{u} .

Ici, une primitive de x \mapsto \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin{\left(x \right)}}} sera x \mapsto 2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} .

On se place sur l'ensemble des réels x afin que \sqrt{2x^{2}-1} soit défini et non nul.

Pour cela, on peut restreindre l'étude à la réunion d'intervalles : ]-\infty;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}[\cup]\dfrac{\sqrt{2}}{2};+\infty[.

On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{\sqrt{u}} .

Ici :
u(x) = 2 x^{2} - 1
et
u'(x) = 4 x

On sait que la dérivée de \sqrt{u} est :
\left( \sqrt{u} \right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

Donc une primitive de \dfrac{u'}{\sqrt{u}} est 2 \sqrt{u} .

Ici, une primitive de x \mapsto \frac{4 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} sera x \mapsto 2 \sqrt{2 x^{2} - 1} .

On se place sur l'ensemble des réels x afin que \sqrt{\left( x-4 \right)^{3}} soit défini et non nul.

Pour cela, on peut restreindre l'étude à l'intervalle ]4 ; +\infty[.

On cherche à calculer l'intégrale d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{\sqrt{u}} .

Si u(x) = (ax + b)^{3} alors u'(x)=3a(ax+b)^{2}.

Ici :
u(x) = \left(x - 4\right)^{3}
et
u'(x) = 3 \left(x - 4\right)^{2}

On sait que la dérivée de \sqrt{u} est :
\left( \sqrt{u} \right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

Donc une primitive de \dfrac{u'}{\sqrt{u}} est 2 \sqrt{u} .

Ici, une primitive de x \mapsto \frac{3 \left(x - 4\right)^{2}}{\sqrt{\left(x - 4\right)^{3}}} sera x \mapsto 2 \sqrt{\left(x - 4\right)^{3}} .

On se place sur l'ensemble des réels x afin que 2x^{\dfrac{3}{4}} soit défini et non nul.

Pour cela, on peut restreindre l'étude à l'intervalle ]0 ; +\infty[.

On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{\sqrt{u}} .

On a f(x) = \dfrac{1}{2x^{\dfrac{3}{4}}}=\dfrac{1}{2x^{\dfrac{1}{2}}x^{\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{\sqrt{x}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{\sqrt{x}}}.

Ici :
u(x) = \sqrt{x}
et
u'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

On sait que la dérivée de \sqrt{u} est :
\left( \sqrt{u} \right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

Donc une primitive de \dfrac{u'}{\sqrt{u}} est 2 \sqrt{u} .

Ici, une primitive de x \mapsto \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}} sera x \mapsto 2 \sqrt[4]{x} ou x \longmapsto \sqrt{\sqrt{x}}.