La fonction F:x\longmapsto 2 x^{2} est-elle une primitive de la fonction f:x\longmapsto 4 x ?
Pour vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée, on dérive cette fonction.
Ainsi, F sera une primitive de f si :
F'(x) = f(x) , pour tout réel x
Or :
F'(x) = 2\times2x = 4x pour tout réel x
Donc F est une primitive de f .
La fonction F:x\longmapsto \frac{1}{x + 1} est-elle une primitive de la fonction f:x\longmapsto - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} ?
Pour vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée, on dérive cette fonction.
Ainsi, F sera une primitive de f si :
F'(x) = f(x) , pour tout réel x différent de -1.
Avec u(x) = x + 1, u'(x) = 1 et \left( \dfrac{1}{u} \right)^{'}=-\dfrac{u'}{u^2}, on a :
F'(x) = - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}
Donc F est une primitive de f .
La fonction F:x\longmapsto \left(x + 1\right)^{3} est-elle une primitive de la fonction f:x\longmapsto 3 \left(x + 1\right)^{2} ?
Pour vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée, on dérive cette fonction.
Ainsi, F sera une primitive de f si :
F'(x) = f(x) , pour tout réel x
Avec u(x) = x + 1, u'(x) = 1 et \left( u^{3} \right)^{'}=3u'u^2, on a :
F'(x) = 3 \left(x + 1\right)^{2}
Donc F est une primitive de f .
La fonction F:x\longmapsto \cos{\left(3 x \right)} est-elle une primitive de la fonction f:x\longmapsto 3 \sin{\left(3 x \right)} ?
Pour vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée, on dérive cette fonction.
Ainsi, F sera une primitive de f si :
F'(x) = f(x) , pour tout réel x .
Avec u(x) = 3x, u'(x) = 3 et \left( \cos(ax + b) \right)^{'}=-a\sin(ax+b), on a :
F'(x) = -3 \sin{\left(3 x \right)} \neq 3 \sin{\left(3 x \right)} = f(x)
F n'est donc pas une primitive de f .
La fonction F:x\longmapsto x \ln{\left(x \right)} - x est-elle une primitive de la fonction f:x\longmapsto \ln{\left(x \right)} ?
Pour vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée, on dérive cette fonction.
Ainsi, F sera une primitive de f si :
F'(x) = f(x) , pour tout réel x strictement positif
Or :
F'(x) = (x \ln(x))' - (x)' = \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln{\left(x \right)}
F est donc une primitive de f .