Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(2x^2+3x+2\right) - 2\ln \left(x-1\right)
Le quotient présente la forme indéterminée \infty - \infty.
Or on sait que a \ln b = \ln \left(b^a\right) et que \ln a - \ln b = \ln \left(\dfrac{a}{b}\right)
Donc \ln\left(2x^2+3x+2\right) - 2\ln \left(x-1\right) = \ln\left(2x^2+3x+2\right) - \ln\left(\left(x-1\right)^2\right)= \ln \dfrac{2x^2+3x+2}{\left(x-1\right)^2} =\ln \dfrac{2x^2+3x+2}{x^2-2x+1}
On peut maintenant lever l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré :
\dfrac{2x^2+3x+2}{x^2-2x+1} = \dfrac{x^2\left(2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}= \dfrac{2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}}{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}}.
Or :
- \lim\limits_{x \to +\infty} 2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2} = 2.
- \lim\limits_{x \to +\infty}1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2} = 1.
Ainsi par quotient : \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}}{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}} = 2.
On pose X = \dfrac{2x^2+3x+2}{\left(x-1\right)^2} , on a alors \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2+3x+2}{\left(x-1\right)^2} = \lim\limits_{X \to 2} X.
Or \lim\limits_{X \to 1} lnX= ln2.
Ainsi, par composition :
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(2x^2+3x+2\right) - 2\ln \left(x-1\right) = \ln 2
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} \ln\left(x^2+2x+1\right)
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} \ln\left(e^{-x} - e^x\right)
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(\dfrac{3}{x-1}\right)
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(4x+3\right) -\ln\left(3x+4\right)
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \left[\ln\left(2x^3 - 4x^2+9x-1\right) -3\ln\left(x+1\right)\right]