Soit ABCD un tétraèdre.
Soient I et J les milieux respectifs des segments \left[BD\right] et \left[BC\right].
Quelle est l'intersection des plans \left(ACD\right) et \left(AIJ\right) ?
Dans le triangle BCD, on remarque que \left(IJ\right) est la droite des milieux des côtés \left[BD\right] et \left[BC\right].
On en déduit que \left(IJ\right) est parallèle à la droite \left(CD\right).
On a donc :
- La droite \left(IJ\right) appartient au plan \left(AIJ\right)
- La droite \left(CD\right) appartient au plan \left(ACD\right)
- Les droites \left(IJ\right) et \left(CD\right) sont parallèles
Les plans \left(AIJ\right) et \left(ACD\right) sont sécants et contiennent donc deux droites parallèles, \left(IJ\right) et \left(CD\right). D'après le théorème du toit, l'intersection de ces deux plans est alors parallèle à ces deux droites.
De plus, sachant que le point A est commun aux plans \left(AIJ\right) et \left(ACD\right), on en déduit que A appartient à la droite d'intersection de ces deux plans.
L'intersection des plans \left(AIJ\right) et \left(ACD\right) est donc la droite parallèle à \left(IJ\right) passant par A.