Etudier une loi uniforme Exercice

X suit la loi uniforme sur \left[ 1;10 \right].

Une densité de X est donc f avec :

\forall x\in\left[ 1;10 \right],f\left(x\right)=\dfrac{1}{10-1}=\dfrac{1}{9}

f est définie sur \left[ 1;10 \right] donc :

p\left( X\leqslant2 \right)=\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{1}^{2} \dfrac{1}{9} \ \mathrm dx

Or une primitive de x \longmapsto \dfrac{1}{9} sur \left[ 1;2 \right] est x \longmapsto \dfrac{x}{9}, donc :

p\left( X\leqslant2 \right)=\left[ \dfrac{x}{9}\right]_{1}^{2}

p\left( X\leqslant2 \right)= \dfrac{2}{9} - \dfrac{1}{9}

p\left( X\leqslant2 \right)= \dfrac{1}{9}

De même, on calcule :

p\left(1\leqslant X\leqslant4 \right)=\int_{1}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{x}{3}\right]_{1}^{4}=\dfrac{4}{9} - \dfrac{1}{9}=\dfrac{3}{9}

p\left( X\geqslant3 \right)=\int_{3}^{10} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Ainsi, on obtient :

p\left( X\geqslant3\right)=\left[ \dfrac{x}{9}\right]_{3}^{10}

p\left( X\geqslant3 \right)= \dfrac{10}{9} - \dfrac{3}{9}

p\left( X\geqslant3 \right)= \dfrac{7}{9}

Si X suit la loi uniforme sur \left[ a;b \right], alors E\left(X\right)=\dfrac{a+b}{2}

Ici, X suit la loi uniforme sur \left[ 1;10 \right], on a donc :

E\left(X\right)=\dfrac{1+10}{2}=\dfrac{11}{2}