Ce dessin effectué à main levée n'est pas exact.
D'après les propriétés sur les mesures d'angle dans un triangle, les points E, F et I sont-ils alignés ?
Les points E, I et F sont alignés si l'angle \widehat{EFI} mesure 180°.
Sur cette figure, on a :
\widehat{EFI}=\widehat{EFG}+\widehat{GFH}+\widehat{IFH}
On sait que :
\widehat{GFH}=90°
Donc :
\widehat{EFI}=\widehat{EFG}+90+\widehat{IFH}
Calcul de \widehat{IFH}
On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Dans le triangle HIF, on a :
\widehat{HIF}+\widehat{IFH}+\widehat{FHI}=180°
D'où :
120°+\widehat{IFH}+\widehat{FHI}=180°
Puis :
\widehat{IFH}+\widehat{FHI}=180°-120°=60°
Mais comme le triangle HIF est isocèle en I, on a de plus :
\widehat{IFH}=\widehat{FHI}
On en déduit donc :
\widehat{IFH}=\dfrac{60°}{2}=30°
Calcul de \widehat{EFG}
Le triangle EFG est équilatéral donc ses trois angles mesurent 60°.
En particulier, on a donc :
\widehat{EFG}=60°
Conclusion
Par conséquent, on peut calculer la mesure de l'angle \widehat{EFI} :
\widehat{EFI}=\widehat{EFG}+\widehat{GFH}+\widehat{IFH}=60°+90°+30°=180°
Les points E, F et I sont alignés.
Ce dessin effectué à main levée n'est pas exact.
D'après les propriétés sur les mesures d'angle dans un triangle, le triangle ADC est-il équilatéral ? Les points A, D et B sont alignés.
Le triangle ADC est équilatéral s'il possède trois angles égaux à 60°. Donc on recherche si :
\widehat{ADC}=\widehat{ACD}=\widehat{CAD}=60°
Calcul de \widehat{CAD}
Comme D est un point du segment [AB] alors \widehat{CAD}=\widehat{CAB}.
On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Dans le triangle ABC, on a :
\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{CAB}=180°
D'où :
30°+90°+\widehat{CAB}=180°
Donc :
\widehat{CAB}=180°-30° -90°=60°
Donc :
\widehat{CAD}=60°
Calcul de \widehat{ACD}
Le triangle CDB est isocèle en D donc \widehat{DCB} =\widehat{DBC} = 30° d'après la figure.
Le triangle ABC est rectangle en C donc \widehat{ACB}=90°.
Mais :
\widehat{ACB}=\widehat{ACD}+\widehat{DCB} = 90°
Donc :
\widehat{ACD}+30° = 90°
Et :
\widehat{ACD} = 90°-30° = 60°
Calcul de \widehat{ADC}
On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Dans le triangle ADC, on a :
\widehat{ADC}+\widehat{ACD}+\widehat{CAD}=180°
D'où :
\widehat{ADC}+60°+60°=180°
Puis :
\widehat{ADC}=180°-60°- 60°=60°
Conclusion
Dans le triangle ADC, \widehat{ADC}=\widehat{ACD}=\widehat{CAD}=60°.
Le triangle ADC est équilatéral.
Ce dessin effectué à main levée n'est pas exact.
D'après les propriétés sur les mesures d'angle dans un triangle, le triangle EHG est-il rectangle en H ? Les points E, F et G sont alignés.
Le triangle EHG est rectangle en H si \widehat{EHG}= 90°.
Sur cette figure, on a :
\widehat{EHG}=\widehat{FHG}+\widehat{EHF}
Calcul de \widehat{FHG}
On sait que le triangle FHG est isocèle en F donc :
\widehat{FHG}=\widehat{FGH}= 55°
Calcul de \widehat{EHF}
- On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Dans le triangle FHG, on a :
\widehat{HFG}+\widehat{FHG}+\widehat{FGH}=180°
D'où :
\widehat{HFG}+55°+55°=180°
Puis :
\widehat{HFG}=180°-55°- 55°=70°
- F étant un point de [EG] :
\widehat{EFH}+\widehat{HFG}=180°
D'où :
\widehat{EFH}+70=180°
Et :
\widehat{EFH}=180°-70°=110°
- On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Dans le triangle EHF, on a :
\widehat{HEF}+\widehat{EHF}+\widehat{EFH}=180°
D'où :
\widehat{HEF}+\widehat{EHF}+110°=180°
Puis :
\widehat{HEF}+\widehat{EHF}=180°-110°=70°
Mais comme le triangle EHF est isocèle en F, on a de plus :
\widehat{HEF}=\widehat{EHF}
On en déduit donc :
\widehat{EHF}=\dfrac{70°}{2}=35°
Conclusion
Par conséquent, on peut calculer la mesure de l'angle \widehat{EHG} :
\widehat{EHG}=\widehat{FHG}+\widehat{EHF}=55°+35°=90°
Le triangle EHG est rectangle en H.
Ce dessin effectué à main levée n'est pas exact.
D'après les propriétés sur les mesures d'angle dans un triangle, les points U, T et S sont-ils alignés ?
Les points U, T et S sont alignés si l'angle \widehat{UTS} mesure 180°.
Sur cette figure, on a :
\widehat{UTS}=\widehat{UTR}+\widehat{RTS}
Calcul de \widehat{UTR}
Le triangle URT est équilatéral donc ses trois angles mesurent 60°.
En particulier, on a donc :
\widehat{UTR}=60°
Calcul de \widehat{RTS}
On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Dans le triangle RTS, on a :
\widehat{RTS}+\widehat{TRS}+\widehat{RST}=180°
D'où :
\widehat{RTS}+25°+33°=180°
Puis :
\widehat{RTS}=180°-25°- 33°=122°
Conclusion
Par conséquent, on peut calculer la mesure de l'angle \widehat{UTS} :
\widehat{UTS}=\widehat{UTR}+\widehat{RTS}=60°+122°=182°
Les points U, T et S ne sont pas alignés.
Ce dessin effectué à main levée n'est pas exact.
D'après les propriétés sur les mesures d'angle dans un triangle, les droites (LM) et (LP) sont-elles perpendiculaires ? Les points L, M et N sont alignés.
Les droites (LM) et (LP) sont perpendiculaires si l'angle \widehat{MLP} mesure 90°.
Soit, si le triangle LMP est rectangle en L.
On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Dans le triangle LMP, on a :
\widehat{MLP}+\widehat{LPM}+\widehat{LMP}=180°
On sait que :
\widehat{LPM}=44°
Donc :
\widehat{MLP}+44+\widehat{LMP}=180°
Et :
\widehat{MLP}=180°-44-\widehat{LMP} = 136°-\widehat{LMP}
Calcul de \widehat{LMP}
Les points L, M et N étant alignés, alors l'angle \widehat{LMN}=180°.
D'après la figure, on sait que :
\widehat{LMN}=\widehat{LMP}+\widehat{PMO}+\widehat{OMN}=180°
Donc :
\widehat{LMP}=180°-\widehat{PMO}-\widehat{OMN}
- Calcul de \widehat{PMO}
Le triangle PMO étant équilatéral, tous ses angles mesurent 60°.
Donc :
\widehat{PMO}=60°
- Calcul de \widehat{OMN}
On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Dans le triangle OMN, on a :
\widehat{MON}+\widehat{OMN}+\widehat{MNO}=180°
D'où :
28°+\widehat{OMN}+\widehat{MNO}=180°
Puis :
\widehat{OMN}+\widehat{MNO}=180°-28°=152°
Mais comme le triangle OMN est isocèle en O, on a de plus :
\widehat{OMN}=\widehat{MNO}
On en déduit donc :
\widehat{OMN}=\dfrac{152°}{2}=76°
Finalement :
\widehat{LMP}=180°-\widehat{PMO}-\widehat{OMN}
\widehat{LMP}=180°-60°-76° = 44°
Conclusion
Par conséquent, on peut calculer la mesure de l'angle \widehat{MLP} :
\widehat{MLP}=136°-\widehat{LMP}=136°-44°=92°
Les droites (LM) et (LP) ne sont pas perpendiculaires.
Ce dessin effectué à main levée n'est pas exact.
D'après les propriétés sur les mesures d'angle dans un triangle, est-ce que B est le milieu du segment [AC], sachant que les points A, B et C sont alignés ?
Les points A, B et C étant alignés, B est le milieu du segment [AC] si les distances AB et BC sont égales.
Donc :
AB=BC
Calcul de AB
On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Dans le triangle ABE, on a :
\widehat{EAB}+\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=180°
D'où :
\widehat{EAB}+90° + 45°=180°
Puis :
\widehat{EAB}=180°-90°- 45°=45°
On en déduit que le triangle ABE est isocèle en B puisque \widehat{EAB}=\widehat{AEB} = 45°.
D'où AB=EB=7 \text{ cm} car le triangle EDB est équilatéral et que ED = 7 \text{ cm}.
Calcul de BC
On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Dans le triangle BDC, on a :
\widehat{BCD}+\widehat{DBC}+\widehat{BDC}=180°
D'où :
\widehat{BCD}+30° + 75°=180°
Puis :
\widehat{BCD}=180°-30°- 75°=75°
On en déduit que le triangle BDC est isocèle en B puisque \widehat{BDC}=\widehat{BCD} = 75°.
D'où BC=BD=7 \text{ cm} car le triangle EDB est équilatéral et que ED = 7 \text{ cm}.
Conclusion
AB = BC = 7 \text{ cm}
B est le milieu de [AC].