Quelles sont les solutions sur \left] 0 ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?
\left(\ln\left(x\right) \right)^2 +\ln\left(x\right)-20= 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré. On effectue donc le changement de variable suivant : lnx = X .
L'équation \left(\ln\left(x\right) \right)^2 +\ln\left(x\right)-20 = 0 devient ainsi :
X^2 +X -20 = 0
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = 1^2-4\times 1 \times \left(-20\right) = 1+80=81.
\Delta \gt 0 donc l'équation est du signe de a sauf entre les racines.
X_1= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1-\sqrt{81}}{2} = -5
X_2= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1+\sqrt{81}}{2} = 4
Donc X^2 +X -20 = 0 pour X\in\{-5;4\}.
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(\ln\left(x\right) \right)^2 +\ln\left(x\right) -20 = 0 :
X_1 = -5 ou X_2= 4
\Leftrightarrow \ln\left(x_1\right) = -5 ou \ln\left(x_2\right) = 4
\Leftrightarrow e^{\ln\left(x_1\right)} = e^{-5} ou e^{\ln\left(x_2\right)} = e^{4}
\Leftrightarrow x_1= e^{-5} ou x_2= e^{4}
S = \left\{ e^{-5} ; e^{4} \right\}
Quelles sont les solutions sur \left] 0 ; +\infty\right[ de l'équation suivante ?
4\left(lnx\right)^2 -12\ln x +9= 0
Quelles sont les solutions sur \left] 0 ; +\infty\right[ de l'équation suivante ?
\left(lnx\right)^2 +3lnx +2= 0
Quelles sont les solutions sur \left] 0 ; +\infty\right[ de l'équation suivante ?
\left(lnx\right)^2 -2lnx= 0
Quelles sont les solutions sur \left] 0 ; +\infty\right[ de l'équation suivante ?
\left(lnx\right)^2 -2lnx+1= 0