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Observer le signe d'une fonction à partir de la représentation graphique d'une de ses primitives

Quand la représentation graphique d'une primitive F d'une fonction f est donnée dans l'énoncé, on peut en déduire le signe de la fonction f.

Soit f une fonction définie et continue sur \(\displaystyle{\left[ -3;3 \right]}\) et F une primitive de f sur \(\displaystyle{\left[ -3;3 \right]}\). La représentation graphique de F est donnée ci-dessous.

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Etape 1

Déterminer le sens de variation de la primitive

On détermine grâce à la représentation graphique les variations de la primitive F.

La fonction F est croissante sur \(\displaystyle{\left[ -3;-2 \right]}\), décroissante sur \(\displaystyle{\left[ -2;1 \right]}\) puis de nouveau croissante sur \(\displaystyle{\left[ 1;3 \right]}\). On récapitule ce résultat dans un tableau de variations :

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Etape 2

Énoncer le cours

On précise que :

  • Si une fonction est croissante et dérivable sur un intervalle I, alors sa dérivée est positive sur I.
  • Si une fonction est décroissante et dérivable sur un intervalle I, alors sa dérivée est négative sur I.

Si une fonction est croissante et dérivable sur un intervalle I, alors sa dérivée est positive sur I. Si une fonction est décroissante et dérivable sur un intervalle I, alors sa dérivée est négative sur I.

Etape 3

En conclure le signe de la fonction

f étant la dérivée de F, on peut conclure que f est de signe positif sur les intervalles où F est croissante, et de signe négatif sur les intervalles où F est décroissante.

Or :

\(\displaystyle{F^{'}=f}\)

On en déduit le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) :

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