Résoudre un système à 3 équations et 3 inconnues Problème

\begin{cases} -3x-5y+z=-14 \cr \cr 2x-3y+3z=-6 \cr \cr x+2y-3z=3 \end{cases}

En exprimant x en fonction de y et z dans la dernière équation, on obtient :

\Leftrightarrow \begin{cases} -3x-5y+z=-14 \cr \cr 2x-3y+3z=-6 \cr \cr x=3-2y+3z \end{cases}

En remplaçant x par cette nouvelle expression (troisième équation) dans les deux autres équations, on obtient :

\Leftrightarrow \begin{cases} -3\left(3-2y+3z\right)-5y+z=-14\cr \cr 2\left(3-2y+3z\right)-3y+3z=-6 \cr \cr x=3-2y+3z \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} -9+6y-9z-5y+z=-14 \cr \cr 6-4y+6z-3y+3z=-6 \cr \cr x=3-2y+3z \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} y-8z=-5 \cr \cr -7y+9z=-12 \cr \cr x=3-2y+3z \end{cases}

La première et deuxième ligne forment ainsi un système de deux équations à deux inconnues ; on multiplie la première équation par 7, on obtient :

\Leftrightarrow \begin{cases} 7y-56z=-35 \cr \cr -7y+9z=-12 \cr \cr x=3-2y+3z \end{cases}

En additionnant membre à membre, on obtient :

\Leftrightarrow \begin{cases} 7y-56z=-35\cr \cr -47z=-47 \cr \cr x=3-2y+3z \end{cases}
On en déduit donc de la deuxième équation : z=1.
On peut alors reporter la valeur de z dans la première équation :
\Leftrightarrow \begin{cases} 7y-56\left(1\right)=-35\cr \cr z=1 \cr \cr x=3-2y+3z \end{cases}

On en déduit donc de la première équation : y=3.
On peut alors reporter les valeurs de y et de z dans la troisième équation pour enfin déterminer x :

\Leftrightarrow \begin{cases}y=3\cr \cr z=1 \cr \cr x=3-2\left(3\right)+3\left(1\right) \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \cr \cr z=1 \cr \cr y=3 \end{cases}