Résoudre un système à 3 équations et 3 inconnues Problème

\begin{cases} x-4y+2z=-2 \cr \cr 3x-y+6z=-\dfrac{1}{2} \cr \cr -2x+2y-3z=\dfrac{5}{2} \end{cases}

En exprimant x en fonction de y et z dans la première équation, on obtient :

\Leftrightarrow \begin{cases} x=-2+4y-2z \cr \cr 3x-y+6z=-\dfrac{1}{2} \cr \cr -2x+2y-3z=\dfrac{5}{2} \end{cases}

En remplaçant x par cette nouvelle expression (première équation) dans les deux dernières équations, on obtient :

\Leftrightarrow \begin{cases} x=-2+4y-2z \cr \cr 3\left(-2+4y-2z\right)-y+6z=-\dfrac{1}{2} \cr \cr -2\left(-2+4y-2z\right)+2y-3z=\dfrac{5}{2} \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x=-2+4y-2z \cr \cr 11y=\dfrac{11}{2} \cr \cr -6y+z=-\dfrac{3}{2} \end{cases}

On obtient donc dans la deuxième équation y=\dfrac{1}{2}

\Leftrightarrow \begin{cases} x=-2+4y-2z \cr \cr y=\dfrac{1}{2} \cr \cr -12y+2z=-3 \end{cases}

On peut alors reporter la valeur de y dans la troisème équation :
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-2+4y-2z \cr \cr y=\dfrac{1}{2} \cr \cr -12\left(\dfrac{1}{2}\right)+2z=-3 \end{cases}

On en déduit donc de la dernière équation : z=\dfrac{3}{2}.
On peut alors reporter les valeurs de y et de z dans la première équation pour enfin déterminer x :

\Leftrightarrow \begin{cases} x=-2+4\left(\dfrac{1}{2} \right)-2\left(\dfrac{3}{2}\right) \cr \cr y=\dfrac{1}{2} \cr \cr z=\dfrac{3}{2} \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x=-3 \cr \cr y=\dfrac{1}{2} \cr \cr z=\dfrac{3}{2} \end{cases}