Quelle est la solution du système d'équations suivant dans \mathbb{R} ?
\begin{cases} 2x-y+3z=10 \cr \cr x+3y+2z=-2 \cr \cr -3x+2y-z=-16 \end{cases}
\begin{cases} 2x-y+3z=10 \cr \cr x+3y+2z=-2 \cr \cr -3x+2y-z=-16 \end{cases}
En exprimant z en fonction de x et y dans la troisième équation, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 2x-y+3z=10 \cr \cr x+3y+2z=-2 \cr \cr z=16-3x+2y \end{cases}
En remplaçant z par cette nouvelle expression (troisième équation) dans les deux premières équations, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 2x-y+3\left(16-3x+2y\right)=10 \cr \cr x+3y+2\left(16-3x+2y\right)=-2 \cr \cr z=16-3x+2y \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 2x-y+48-9x+6y=10 \cr \cr x+3y+32-6x+4y=-2 \cr \cr z=16-3x+2y \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} -7x+5y=-38 \cr \cr -5x+7y=-34 \cr \cr z=16-3x+2y \end{cases}
Les deux premières lignes forment ainsi un système de deux équations à deux inconnues ; en multipliant la première équation par 5 et la deuxième équation par -7 on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} -35x+25y=-190 \cr \cr 35x-49y=238 \cr \cr z=16-3x+2y \end{cases}
On additionne membre à membre la première équation et la deuxième équation, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} -35x+25y=-190 \cr \cr -24y=48 \cr \cr z=16-3x+2y \end{cases}
On en déduit donc de la dernière équation : y=-2 .
On peut alors reporter la valeur de y dans la première équation :
\Leftrightarrow \begin{cases} -35x+25\left(-2\right)=-190 \cr \cr y=-2 \cr \cr z=16-3x+2y \end{cases}
On en déduit donc de la première équation : x=4 .
On peut alors reporter les valeurs de x et de y dans la dernière équation pour enfin déterminer z :
\Leftrightarrow \begin{cases} x=4 \cr \cr y=-2 \cr \cr z=16-3\left(4\right)+2\left(-2\right) \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=4 \cr \cr y=-2 \cr \cr z=0 \end{cases}
Le système admet donc un unique triplet solution : \left(4;-2;0\right)