Quelle est la solution du système d'équations suivant dans \mathbb{R} ?
\begin{cases} 4x-y+2z=-6 \cr \cr 2x+3y-z=-8 \cr \cr -3x+2y-3z=-2 \end{cases}
\begin{cases} 4x-y+2z=-6 \cr \cr 2x+3y-z=-8 \cr \cr -3x+2y-3z=-2 \end{cases}
En exprimant z en fonction de x et y dans la deuxième équation, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 4x-y+2z=-6 \cr \cr z=8+2x+3y \cr \cr -3x+2y-3z=-2 \end{cases}
En remplaçant z par cette nouvelle expression (deuxième équation) dans les deux autres équations, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 4x-y+2\left(8+2x+3y\right)=-6 \cr \cr z=8+2x+3y \cr \cr -3x+2y-3\left(8+2x+3y\right)=-2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 4x-y+16+4x+6y=-6 \cr \cr z=8+2x+3y \cr \cr -3x+2y-24-6x-9y=-2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 8x+5y=-22 \cr \cr z=8+2x+3y \cr \cr -9x-7y=22 \end{cases}
La première et troisième ligne forment ainsi un système de deux équations à deux inconnues ; en multipliant la première équation par 9 et la deuxième équation par 8 on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 72x+45y=-198 \cr \cr z=8+2x+3y \cr \cr -72x-56y=176 \end{cases}
On additionne membre à membre la première et troisième équation, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 72x+45y=-198 \cr \cr z=8+2x+3y \cr \cr -11y=-22 \end{cases}
On en déduit donc de la dernière équation : y=2 .
On peut alors reporter la valeur de y dans la première équation :
\Leftrightarrow \begin{cases} 72x+45\left(2\right)=-198 \cr \cr z=8+2x+3y \cr \cr y=2 \end{cases}
On en déduit donc de la première équation : x=-4 .
On peut alors reporter les valeurs de x et de y dans la deuxième équation pour enfin déterminer z :
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-4 \cr \cr z=8+2\left(-4\right)+3\left(2\right) \cr \cr y=2\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-4 \cr \cr z=6 \cr \cr y=2 \end{cases}
Le système admet donc un unique triplet solution : \left(-4;2;6\right)