On lance un dé cubique truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On observe la face supérieure.
En lançant 100 fois ce dé, on obtient les résultats suivants :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 4 | 2 | 3 | 2 | 1 |
| 5 | 6 | 4 | 5 | 6 | 4 | 5 | 6 | 2 | 4 |
| 2 | 4 | 3 | 2 | 5 | 6 | 5 | 4 | 1 | 5 |
| 6 | 4 | 2 | 5 | 3 | 1 | 6 | 5 | 5 | 4 |
| 2 | 3 | 1 | 4 | 5 | 6 | 1 | 6 | 2 | 5 |
| 4 | 3 | 5 | 2 | 6 | 1 | 4 | 3 | 2 | 5 |
| 6 | 5 | 4 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 | 6 | 1 |
| 1 | 6 | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 5 | 6 | 5 |
| 1 | 4 | 5 | 5 | 6 | 5 | 5 | 5 | 6 | 6 |
Quel tableau correspond à la fréquence d'apparition de chacune des faces sur ces 100 lancers ?
Dans ce problème, on note :
- f_1 la fréquence d'apparition de la face numérotée 1 sur ces 100 lancers.
- f_2 la fréquence d'apparition de la face numérotée 2 sur ces 100 lancers.
- f_3 la fréquence d'apparition de la face numérotée 3 sur ces 100 lancers.
- f_4 la fréquence d'apparition de la face numérotée 4 sur ces 100 lancers.
- f_5 la fréquence d'apparition de la face numérotée 5 sur ces 100 lancers.
- f_6 la fréquence d'apparition de la face numérotée 6 sur ces 100 lancers.
D'après la tableau de l'énoncé, on remarque que la face numérotée 1 apparaît 10 fois lors de ces 100 lancers. On a donc :
f_1=\cfrac{10}{100}=\cfrac{1}{10}\\
On effectue le même raisonnement pour les faces numérotées 2, 3, 4 ,5 et 6. On obtient donc :
f_2=\cfrac{15}{100}=\cfrac{3}{20}\\f_3=\cfrac{11}{20}\\f_4=\cfrac{18}{100}=\cfrac{9}{50}\\f_5=\cfrac{26}{100}=\cfrac{13}{50}\\f_6=\cfrac{20}{100}=\cfrac{1}{5}
On résume ces fréquences d'apparition dans le tableau ci-dessous.
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence d'apparition | \cfrac{1}{10} | \cfrac{3}{20} | \cfrac{11}{100} | \cfrac{9}{50} | \cfrac{13}{50} | \cfrac{1}{5} |
On se base sur les résultats précédents pour déterminer le modèle de l'expérience.
Quel tableau correspond à la loi de probabilité de cette expérience aléatoire ?
D'après la question précédente, si on note p_i la probabilité d'obtenir la face numérotée i avec i\in \left\{1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6\right\}
On obtient alors : (loi des grands nombres)
p_1=\cfrac{1}{10}\\p_2=\cfrac{3}{20}\\p_3=\cfrac{11}{100}\\p_4=\cfrac{9}{50}\\p_5=\cfrac{13}{50}\\p_6=\cfrac{1}{5}
La loi de probabilité de cette expérience aléatoire se résume dans le tableau ci-dessous.
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| p_i | \cfrac{1}{10} | \cfrac{3}{20} | \cfrac{11}{100} | \cfrac{9}{50} | \cfrac{13}{50} | \cfrac{1}{5} |
On observe que la loi de probabilité n'est donc pas équirépartie, ce qui se justifie par le fait que le dé est truqué.