Théorème de l’énergie cinétique Cours

Sommaire

ILes différentes formes de l'énergieALa notion de l'énergieBL'énergie liée à la vitesse : l'énergie cinétiqueCL'énergie transférée par le travail d'une force1Généralités2Le travail du poidsIIThéorème de l'énergie cinétiqueAÉnoncé du théorème de l'énergie cinétiqueBApplication : calcul d'une grandeur liée au mouvement du systèmeIIIRécapitulatif

Notions

À savoir

Chronophotographie

Figure rassemblant les positions successives d'un système, séparées par une durée constante, notée généralement \tau.

Description d'un mouvement

Un mouvement est décrit par :

  • sa trajectoire (rectiligne, curviligne, circulaire, etc.) ;
  • l'évolution de sa vitesse (accéléré, uniforme ou ralenti). 

Poids \overrightarrow{P}

Modélise l'action qu'un astre exerce sur les corps situés dans son voisinage. 

C'est une force verticale, de valeur P = m \times g , où g est l'intensité de la pesanteur.

Réaction normale \overrightarrow{R_N}

Modélise l'action d'un support sur un corps. C'est une force perpendiculaire au support.

Référentiel

Objet par rapport auquel on étudie le mouvement du système. 

Le choix judicieux d'un référentiel permet de simplifier la description du mouvement du système.

Système

Ensemble de corps dont on étudie le mouvement. 

En pratique, on résume son étude à celui d'un seul point, son centre d'inertie.

Vitesse moyenne v

v_{({m·s}^{–1})} = \dfrac{d_{({m})}}{\Delta t_{({s})}}

Le poids

Le poids

La réaction normale

La réaction normale

I

Les différentes formes de l'énergie

A

La notion de l'énergie

L'énergie est une grandeur présente dans tous les domaines scientifiques, c'est pourquoi sa définition est assez ouverte.

Énergie

L'énergie d'un système exprime sa capacité à modifier l'état d'autres systèmes avec lesquels il est en interaction. Son unité est le joule (J).

L'énergie apparaît sous un très grand nombre de formes différentes : cinétique, potentielle de pesanteur, mécanique, thermique, chimique, électrique, de rayonnement, nucléaire, etc.

B

L'énergie liée à la vitesse : l'énergie cinétique

Dans un référentiel donné, un système qui se déplace à une certaine vitesse, possède de l'énergie cinétique.

Énergie cinétique

L'énergie cinétique E_c d'un système de masse m animé d'un mouvement de translation est l'énergie qu'il possède du fait de sa vitesse de valeur v :

E_{c \left(\text{J}\right)} = \dfrac{1}{2} \times m_{\left(\text{kg}\right)} \times v^{2}_{\left(\text{m.s}^{–1}\right)}

L'énergie cinétique d'un solide de masse 10 kg se déplaçant à une vitesse de valeur 2,0 m·s−1 est :

E_{c} = \dfrac{1}{2} \times m \times v^{2} = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 2,0^{2} = 20 \text{ J}

Il est utile de savoir convertir les vitesses exprimées en km·h−1 en m·s−1 et inversement :

v_{\left({m·s}^{–1}\right)} = \dfrac{v_{\left({km·h}^{–1}\right)}}{3,6}  et  v_{\left({km·h}^{–1}\right)} = 3,6 \times v_{\left({m·s}^{–1}\right)}

Une vitesse de 130 km·h−1 correspond à  \dfrac{130}{3,6} = 36\ {m·s}^{−1}.

Comme la vitesse, l'énergie cinétique dépend du référentiel.

C

L'énergie transférée par le travail d'une force

1

Généralités

Une force peut transférer ou absorber de l'énergie à un système en mouvement.

Travail d'une force

Le travail d'une force représente l'énergie développée par une force lors du déplacement de son point d'application. 

Travail d'une force

Le travail W d'une force  \overrightarrow{F}  constante, s'appliquant en un point parcourant une distance  \overrightarrow{AB}, est donné par le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{F} et \overrightarrow{AB}  :

W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right)=\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\left(\alpha\right)

Avec : 

  • W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right)  le travail de la force  \overrightarrow{F}, exprimé en joules (J) ;
  • \overrightarrow{F}  la force appliquée sur le système, dont la norme F s'exprime en newtons (N) ;
  • \overrightarrow{AB} le vecteur déplacement du point d'application de  \overrightarrow{F}, dont la norme AB s'exprime en mètres (m) ;
  • \alpha  est l'angle entre les vecteurs  \overrightarrow{F}  et  \overrightarrow{AB}.
-

Pour tirer un chariot, une personne exerce une force \overrightarrow{F} de valeur 20 N sur une distance de 8,5 m. L'angle \alpha entre la force \overrightarrow{F} et le vecteur déplacement \overrightarrow{AB} étant de 30°, le travail de cette force a pour valeur :

W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right)=\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{AB} \\W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right) = F \times AB \times \cos\left(\alpha\right) \\W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right) = 20 \times 8,5 \times \cos\left(30 \right) \\W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right) = 1,5 \times 10^2 \text{ J}

  • Si le travail est positif, on dit qu'il est moteur : cela signifie que la force en question favorise le déplacement du système.
  • Si le travail est négatif, on dit qu'il est résistant : cela signifie que la force en question gêne le déplacement du système.

La nature du travail d'une force dépend donc de son signe, qui est lié à l'angle \alpha séparant les vecteurs \overrightarrow{F}\text{ et } \overrightarrow{AB}  :

Angle \alpha

\cos\left(\alpha \right)

Signe et nature du travail

Exemple

Compris entre 0° 

et 90°

Compris entre 0 

et 1

Positif, donc moteur

La force exercée par un moteur étant colinéaire au déplacement, son travail est moteur.

Égal à 90°

Égal à 0

Nul

La réaction normale étant généralement perpendiculaire au déplacement, son travail est nul.

Compris entre 90° et 180°

Compris entre –1 et 0

Négatif, donc résistant

Les forces de frottements étant généralement opposées au déplacement, leur travail est résistant.

2

Le travail du poids

Soit un système quelconque de masse m en mouvement soumis uniquement à son poids.

-

Le poids étant une force conservative, il existe une formule simplifiée de son travail.

Travail du poids

Le travail du poids dépend de la différence d'altitude entre le point de départ A et le point d'arrivée B :

W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = m \times g \times (z_A – z_B)

Avec :

  • W_{AB}\left( \overrightarrow{P} \right) le travail du poids (en J) ;
  • m la masse du système (en kg) ;
  • g, la valeur de l'accélération de la pesanteur (9,81 en m·s−2).

On considère une balle de masse m valant 200 g lancée depuis un point A situé au niveau du sol (altitude de 0,00 mètre) suivant une trajectoire parabolique. On nomme B le point définissant le sommet de la parabole situé à une altitude de 5,00 mètres. Le travail du poids pour atteindre la hauteur h vaut :

  • W_{AB}\left(\overrightarrow{P} \right)=m\times g\times \left( I_A-z_B \right)
  • W_{AB}\left( \overrightarrow{P} \right)=200·10^{–3}\times 9,81\times \left( 0,00 – 5,00 \right)
  • W_{AB}\left( \overrightarrow{P} \right)= –9,81\text{ J}

 

Dans cette situation, le travail du poids est résistant car il s'oppose à ce mouvement.

On peut déterminer la nature du travail en fonction de la variation de l'altitude du système lors de son mouvement.

  • Si le mouvement est une descente, on a z_B \lt z_A d'où W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) \gt 0 \text{ J} : le travail du poids est moteur, il favorise ce mouvement du système.
  • Si le mouvement est une montée, on a z_B \gt z_A\text{ d'où }W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) \lt 0\text{ J}  : le travail du poids est résistant, il gêne ce mouvement du système.
  • Si le mouvement s'effectue à l'horizontale, on a z_B = z_A\text{ d'où }W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = 0\text{ J} : le travail du poids est nul, il n'influe pas sur ce mouvement du système.

On peut aussi exprimer le travail du poids en fonction de la hauteur h qui sépare les deux points A et B :

W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = m \times g \times h

La hauteur h étant une grandeur obligatoirement positive, c'est le contexte qui détermine si le travail du poids est positif (et donc moteur) ou négatif (et donc résistant), ce qui permet de savoir si on doit indiquer un signe « – »  dans la relation.

  • Lorsqu'un corps de masse 5,0 kg descend d'une hauteur de 10 m, le travail de son poids est moteur et sa valeur est donc : W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = m \times g \times h = 5,0 \times 9,81 \times 10 = 4,9 \times 10^2\text{ J}  
  • Lorsqu'un corps de masse 5,0 kg s'élève d'une hauteur de 10 m, le travail de son poids est résistant et sa valeur est donc :  W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = –m \times g \times h = –5,0 \times 9,81 \times 10 = –4,9 \times 10^2\text{ J}   
II

Théorème de l'énergie cinétique

A

Énoncé du théorème de l'énergie cinétique

Théorème de l'énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un système de masse m (constante) se déplaçant d'un point A à un point B, est égale à la somme des travaux \sum_{i}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)  des forces extérieures qu'il subit : 

\Delta_{AB}E_c= \sum_{i}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)

Une moto est en mouvement sur une route droite et horizontale. 

Si on néglige les frottements, elle est soumise à son poids \overrightarrow{P} , la réaction normale \overrightarrow{R_N}  exercée par le sol et la force motrice développée par le moteur \overrightarrow{F}.

-

Dans le référentiel terrestre qui est galiléen, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la moto donne :

\Delta_{AB}E_c= \sum_{i}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)

Soit :

E_{c_B} – E_{c_A} = W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) + W_{AB}\left(\overrightarrow{R_N}\right) + W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)

B

Application : calcul d'une grandeur liée au mouvement du système

Le théorème de l'énergie cinétique permet de déterminer une grandeur liée au mouvement du système, les autres grandeurs étant connues.

Méthode
Pour déterminer une grandeur à l'aide du théorème de l'énergie cinétique, on suit les étapes suivantes.

Etape 1

Définir le système et faire le bilan des forces

On précise le système étudié et on fait le bilan des forces extérieures qu'il subit. 

Un schéma de la situation est alors utile (pour observer les orientations des forces).

Etape 2

Énoncer le théorème de l'énergie cinétique

On écrit la relation traduisant le théorème de l'énergie cinétique en précisant le référentiel utilisé (qui doit être galiléen) : 

\Delta_{AB}E_c= \sum_{i}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)

Etape 3

Développer l'expression obtenue

On développe chaque terme de la relation précédente (les énergies cinétiques aux points A et B ainsi que les travaux de chaque force), en repérant, le cas échéant, ceux qui sont nuls : soit parce que la vitesse du système est nulle en l'un des points A ou B, soit parce qu'une force ne travaille pas (comme celles qui sont perpendiculaires au déplacement (\overrightarrow{AB}), ce qui simplifie l'écriture de la relation.

Etape 4

Isoler la grandeur recherchée

On isole la grandeur à déterminer et on la calcule à partir des autres grandeurs qui sont données.

On étudie le démarrage d'une moto de 320 kg, sur une route droite et horizontale (les frottements étant négligés). 

Sachant que le moteur exerce une force motrice \overrightarrow{F}, colinéaire au déplacement et de valeur 450 N, quelle sera la vitesse qu'elle atteint après un parcours de 20 m ?

Etape 1

Définir le système et faire le bilan des forces

Le système étudié est la moto. En démarrant sur une route droite et horizontale, elle est soumise à son poids \overrightarrow{P}, la réaction normale \overrightarrow{R_N} exercée par le sol et la force motrice développée par le moteur \overrightarrow{F} (les frottements étant négligés). 

On sait que :

  • le poids \overrightarrow{P} est une force verticale ;
  • la réaction normale \overrightarrow{R_N} est une force perpendiculaire au support (la route, ici) ;
  • la force motrice \overrightarrow{F} est colinéaire au déplacement.

 

D'où le schéma suivant :

-
Etape 2

Énoncer le théorème de l'énergie cinétique

Dans le référentiel terrestre qui est galiléen, la variation de l'énergie cinétique de la moto entre les points A et B est égale à la somme des travaux des forces extérieures qu'elle subit. Soit :

\Delta_{AB}E_c= \sum_{i}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)

Etape 3

Développer l'expression obtenue

D'où ici :

E_{cB} – E_{cA} = W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) + W_{AB}\left(\overrightarrow{R_N}\right) + W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)

Or : 

  • l'énergie cinétique au point A est nulle, puisque la moto démarrant, sa vitesse initiale v_A est nulle : E_{cA} = 0  J ;
  • les travaux du poids et de la réaction normale sont nuls car ces deux forces sont perpendiculaires au déplacement \overrightarrow{AB}  : W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = W_{AB}\left(\overrightarrow{R_N}\right) = 0\text{ J}  .

On obtient donc la relation :

E_{cB} = W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)

Soit :

\dfrac{1}{2} \times m \times v_B^2 = \overrightarrow{F} \times \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \text{cos } 0 = F \times AB

Etape 4

Isoler la grandeur recherchée

On isole alors la vitesse au point B que l'on souhaite déterminer :

\dfrac{1}{2} \times m \times v_B^2 = F \times AB\\v_B^2 = \dfrac{ 2 \times F \times AB }{m}\\v_B = \sqrt{\dfrac{ 2 \times F \times AB }{m}}

Soit l'application numérique suivante :

v_B = \sqrt{\dfrac{ 2 \times 450 \times 20 }{320}}

v_B = 7,5\ { m·s}^{–1}  

III

Récapitulatif

Notion d'énergie

L'énergie d'un système exprime sa capacité à modifier l'état d'autres systèmes avec lesquels il est en interaction. Son unité est le joule (J).

Énergie cinétique Ec

Énergie qu'un système possède du fait de sa vitesse de valeur v :

E_{c \left({J}\right)} = \dfrac{1}{2} \times m_{\left({kg}\right)} \times v^{2}_{\left({m·s}^{–1}\right)}

Conversion des vitesses

v_{\left({m·s}^{–1}\right)} = \dfrac{v_{\left({km·h}^{–1}\right)}}{3,6} et v_{\left({km·h}^{–1}\right)} = 3,6 \times v_{\left({m·s}^{–1}\right)}

Travail d'une force

Énergie développée par une force \overrightarrow{F} lors d'un déplacement \overrightarrow{AB} de son point d'application :

W_{AB}\left(\overrightarrow{F} \right)=\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\left(\alpha\right)

L'angle \alpha  étant l'angle entre les vecteurs  \overrightarrow{F} \text{ et }\overrightarrow{AB}  :
  • Si \alpha  est compris entre 0° et 90 °, le travail est positif, on dit qu'il est moteur : la force favorise le déplacement du système.
  •  Si \alpha est égal à 90°, le travail est nul, une force perpendiculaire ne travaille pas.
  • Si \alpha est compris entre 90° et 180 °, le travail est négatif, on dit qu'il est résistant : la force gêne le déplacement du système.

Travail du poids  W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right)

Il peut s'exprimer en fonction de la différence d'altitude entre le point de départ A et le point d'arrivée B :

W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = m \times g \times (z_A – z_B)

g est l'intensité de la pesanteur : g = 9,81 \ { N·kg}^{−1}

 Et aussi en fonction de la hauteur qui sépare ces deux points :

W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = m \times g \times h

Avec :

  • « + » pour une descente ;
  • « –  » pour une montée.

Travail des forces de frottements

Les forces de frottements s'opposant au mouvement, leur travail est résistant :

W_{AB}\left( \overrightarrow{f} \right)=\overrightarrow{f}\times \overrightarrow{AB} = f \times AB \times \cos\left(180\right) = –f_{(\text{N})} \times AB_{(\text{m})}

Théorème de l'énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen :

\Delta_{AB}E_c= \sum_{i}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)

Il permet de calculer une grandeur liée au mouvement du système à partir des autres grandeurs.

Travail d'une force

Travail d'une force

Travail des forces de frottements

Travail des forces de frottements