On considère, dans le référentiel terrestre, une moto de masse 560 kg qui démarre au point A et accélère jusqu'au point B, sur une route horizontale. Pendant ce mouvement, la moto est soumise à son poids \overrightarrow{P}, à la réaction normale du sol \overrightarrow{R_N} et à la force exercée par son moteur \overrightarrow{F}, de valeur F = 374\text{ N} :
Quelle est la vitesse de la moto au point B ?
Données :
- Intensité de la pesanteur : g = 9{,}81 \text{ m.s}^{-1}
- Distance entre les points A et B : AB = 75 \text{ m}
D'après le théorème de l'énergie cinétique, la variation de l'énergie cinétique de la moto dans le référentiel terrestre est égale à la somme des travaux des forces extérieures qu'elle subit :
\Delta_{AB}Ec = \sum_{}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)
Ici, les forces extérieures qui s'exercent sur la moto sont son poids \overrightarrow{P}, la réaction normale du sol \overrightarrow{R_N} et la force exercée par son moteur \overrightarrow{F}.
Les travaux de ces forces sont les suivants :
- W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = \overrightarrow{P}.\overrightarrow{AB} = P \times AB \times \cos(90) = 0 \text{ J} car le poids \overrightarrow{P} est perpendiculaire au vecteur déplacement \overrightarrow{AB}.
- W_{AB}\left(\overrightarrow{R_N}\right) = \overrightarrow{R_N}.\overrightarrow{AB} =R_N \times AB \times \cos(90)= 0 \text{ J} car la réaction normale \overrightarrow{R_N} est perpendiculaire au vecteur déplacement \overrightarrow{AB}.
- W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right) = \overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos(0) = F \times AB car la force \overrightarrow{F} est colinéaire au vecteur déplacement \overrightarrow{AB} et de même sens.
On a donc :
Ec_B - Ec_A = W_{AB}(\overrightarrow{F})
Soit :
\dfrac{1}{2} m\times v_B^2 - \dfrac{1}{2} m\times v_A^2= F \times AB
Or, au point A la moto démarre, la vitesse v_A est donc nulle.
On obtient donc :
\dfrac{1}{2} m\times v_B^2 = F \times AB
On isole la vitesse v_B :
v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times F \times AB}{m}}
D'où l'application numérique :
v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times 374 \times 75}{560}}
v_B = 10 \text{ m.s}^{-1}
La vitesse de la moto au point B est donc : 10 \text{ m.s}^{-1}.
On considère, dans le référentiel terrestre, une moto de masse 560 kg qui commence à freiner au point A où sa vitesse est v_A = 15 \text{ m.s}^{-1}. Pendant ce mouvement, la moto est soumise à son poids \overrightarrow{P}, à la réaction normale du sol \overrightarrow{R_N} et à la force exercée par ses freins \overrightarrow{F}, de valeur F = 340\text{ N} :
Quelle est la vitesse de la moto au point B ?
Données :
- Intensité de la pesanteur : g = 9{,}81 \text{ m.s}^{-1}
- Distance entre les points A et B : AB = 120 \text{ m}
D'après le théorème de l'énergie cinétique, la variation de l'énergie cinétique de la moto dans le référentiel terrestre est égale à la somme des travaux des forces extérieures qu'elle subit :
\Delta_{AB}Ec = \sum_{}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)
Ici, les forces extérieures qui s'exercent sur la moto sont son poids \overrightarrow{P}, la réaction normale du sol \overrightarrow{R_N} et la force exercée par son moteur \overrightarrow{F}.
Les travaux de ces forces sont les suivants :
- W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = \overrightarrow{P}.\overrightarrow{AB} = P \times AB \times \cos(90) = 0 \text{ J} car le poids \overrightarrow{P} est perpendiculaire au vecteur déplacement \overrightarrow{AB}.
- W_{AB}\left(\overrightarrow{R_N}\right) = \overrightarrow{R_N}.\overrightarrow{AB} =R_N \times AB \times \cos(90)= 0 \text{ J} car la réaction normale \overrightarrow{R_N} est perpendiculaire au vecteur déplacement \overrightarrow{AB}.
- W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right) = \overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos(180) = -F \times AB car la force \overrightarrow{F} est colinéaire au vecteur déplacement \overrightarrow{AB} mais de sens opposé.
On a donc :
Ec_B - Ec_A = W_{AB}(\overrightarrow{F})
Soit :
\dfrac{1}{2} m\times v_B^2 - \dfrac{1}{2} m\times v_A^2= - F \times AB
On isole la vitesse v_B :
v_B = \sqrt{v_A^2-\dfrac{2 \times F \times AB}{m}}
D'où l'application numérique :
v_B = \sqrt{15^2-\dfrac{2 \times 340 \times120}{560}}
v_B = 8{,}9\text{ m.s}^{-1}
La vitesse de la moto au point B est donc : 8{,}9 \text{ m.s}^{-1}.
On considère, dans le référentiel terrestre, une balle de masse 120 kg qui est lâchée d'une hauteur de 1,10 m au point A et chute vers le sol. Pendant ce mouvement, la balle est soumise uniquement à son poids \overrightarrow{P}, les frottements étant négligeables :
Quelle est la vitesse de la balle au point B où elle touche le sol ?
Donnée :
Intensité de la pesanteur : g = 9{,}81 \text{ m.s}^{-1}
D'après le théorème de l'énergie cinétique, la variation de l'énergie cinétique de la balle dans le référentiel terrestre est égale à la somme des travaux des forces extérieures qu'elle subit :
\Delta_{AB}Ec = \sum_{}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)
Ici, la seule force extérieure qui s'exerce sur la balle est son poids \overrightarrow{P}.
Le travail du poids entre A et B est le suivant :
W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = \overrightarrow{P}.\overrightarrow{AB} = m \times g \times h
On a donc :
Ec_B - Ec_A = W_{AB}(\overrightarrow{P})
Soit :
\dfrac{1}{2} m\times v_B^2 = m \times g \times h
On isole la vitesse v_B :
v_B = \sqrt{2\times g \times h}
D'où l'application numérique :
v_B = \sqrt{2\times 9{,}81 \times 1{,}10}
v_B = 4{,}65 \text{ m.s}^{-1}
La vitesse de la balle au point B est donc : 4{,}65\text{ m.s}^{-1}.
On considère, dans le référentiel terrestre, une balle de masse 120 g qui est lâchée d'une hauteur de 1,10 m au point A et chute vers le sol. Pendant ce mouvement, la balle est soumise à son poids \overrightarrow{P} ainsi qu'aux frottements de l'air \overrightarrow{f} de valeur f = 0{,}4\text{ N} :
Quelle est la vitesse de la balle au point B où elle touche le sol ?
Donnée :
Intensité de la pesanteur : g = 9{,}81 \text{ m.s}^{-1}
D'après le théorème de l'énergie cinétique, la variation de l'énergie cinétique de la balle dans le référentiel terrestre est égale à la somme des travaux des forces extérieures qu'elle subit :
\Delta_{AB}Ec = \sum_{}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)
Ici, la balle est soumise à deux forces extérieures, son poids \overrightarrow{P} et les frottements \overrightarrow{F} dus à l'air.
Le travail du poids entre A et B est le suivant :
W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = \overrightarrow{P}.\overrightarrow{AB} = m \times g \times h
Le travail des frottements entre A et B est le suivant :
W_{AB}\left(\overrightarrow{f}\right) = \overrightarrow{f}.\overrightarrow{AB} =- f \times h
On a donc :
Ec_B - Ec_A = W_{AB}(\overrightarrow{P}) + W_{AB}(\overrightarrow{f})
Soit :
\dfrac{1}{2} m\times v_B^2 = m \times g \times h -f\times h=(mg-f)\times h
On isole la vitesse v_B :
v_B = \sqrt{2\times (mg-f) \times (\dfrac{h}{m})}
D'où l'application numérique :
v_B = \sqrt{2\times (0{,}120\times9{,}81 - 0{,}4) \times \dfrac{1{,}10}{0{,}120}}
v_B = 3{,}77 \text{ m.s}^{-1}
La vitesse de la balle au point B est donc : 3{,}77\text{ m.s}^{-1}.
On considère, dans le référentiel terrestre, une balle de masse 120 g qui arrive depuis un point A de hauteur 1,10 m, à une vitesse \overrightarrow{v_{A}} de valeur v_{a} = 0.125 \text{ m.s}^{-1} vers le sol. Pendant ce mouvement la balle est soumise à son poids \overrightarrow{P} ainsi qu'aux frottements de l'air \overrightarrow{F} de valeur f = 1{,}18\text{ N} :
Quelle est la vitesse de la balle au point B où elle touche le sol ?
Donnée :
Intensité de la pesanteur : g = 9{,}81 \text{ m.s}^{-1}
D'après le théorème de l'énergie cinétique, la variation de l'énergie cinétique de la balle dans le référentiel terrestre est égale à la somme des travaux des forces extérieures qu'elle subit :
\Delta_{AB}Ec = \sum_{}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)
Ici, la balle est soumise à deux forces extérieures, son poids \overrightarrow{P} et les frottements \overrightarrow{F} dus à l'air.
Le travail du poids entre A et B est le suivant :
W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = \overrightarrow{P}.\overrightarrow{AB} = m \times g \times h
Le travail des frottements entre A et B est le suivant :
W_{AB}\left(\overrightarrow{f}\right) = \overrightarrow{f}.\overrightarrow{AB} =- f \times h
On a donc :
Ec_B - Ec_A = W_{AB}(\overrightarrow{P}) + W_{AB}(\overrightarrow{f})
Soit :
\dfrac{1}{2} m\times v_B^2 - \dfrac{1}{2} m\times v_A^2= m \times g \times h -f\times h=(mg-f)\times h
L'application numérique nous donne :
(mg-f)\times h = (0{,}120 \times 9{,}81-1{,}18)\times h=(1{,}18-1{,}18)\times h=0
On a donc :
Ec_B - Ec_A = 0
Soit :
v_B = v_A= 0{,}125 \text{ m.s}^{-1}
La vitesse de la balle au point B est donc : 0{,}125\text{ m.s}^{-1}.