Théorème de l'énergie mécaniqueCours

Rappels

Notion

À savoir

Chronophotographie

Figure rassemblant les positions successives d'un système, séparées par une durée constante, notée généralement \tau.

Description d'un mouvement

Un mouvement est décrit en utilisant deux adjectifs : 

  • un pour indiquer la trajectoire (rectiligne, curviligne, circulaire, etc.) ;
  • et un autre pour préciser l'évolution de la vitesse (accéléré, uniforme ou ralenti).

Énergie cinétique E_c

Énergie que possède un système du fait de sa vitesse :

E_{(\text{J})} = \dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})} \times v_{({m·s}^{–1})}^2

Réaction normale \overrightarrow{R_N}

Modélise l'action d'un support sur un corps. C'est une force perpendiculaire au support. 

Référentiel

Objet par rapport auquel on étudie le mouvement du système. Le choix judicieux d'un référentiel permet de simplifier la description du mouvement du système.

Système

Ensemble de corps dont on étudie le mouvement. En pratique, on résume son étude à celui d'un seul point, son centre d'inertie.

Tension \overrightarrow{T}

Modélise l'action d'un fil ou câble tendu qui maintient un corps.

Travail des forces de frottements

Les forces de frottements s'opposant au mouvement, leur travail est résistant :

W_{AB}\left( \overrightarrow{f} \right)=\overrightarrow{f}\times \overrightarrow{AB} = f \times AB \times \cos\left(180\right) = –f_{(\text{N})} \times AB_{(\text{m})}

Tension

Tension

Travail des forces de frottements

Travail des forces de frottements

I

Énergies potentielles

A

Forces conservatives

Le travail de certaines forces ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des positions des points A et B.

Force conservative

Une force conservative est une force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des points de départ et d'arrivée A et B.

  • Le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi, c'est une force conservative.
  • Le travail des forces de frottements dépend de la longueur AB du chemin suivi, ce sont des forces non conservatives.
B

Notion d'énergie potentielle

Chaque force conservative est associée à une énergie potentielle.

Énergie potentielle

Une énergie potentielle est une énergie stockée par le système, potentiellement disponible et pouvant être convertie en une autre forme d'énergie. Elle est toujours liée à une force conservative.

On peut dire qu'un système relié à un ressort en extension et que l'on maintient possède une énergie potentielle (élastique, ici) car si on le lâche, le ressort va le mettre en mouvement. Il y aura donc conversion de l'énergie potentielle élastique en énergie cinétique.

Manifestation de l'énergie potentielle élastique
Manifestation de l'énergie potentielle élastique

Relation entre énergie potentielle et travail

La variation d'énergie potentielle, notée  \Delta E_p , d'un système entre deux points  A  et  B  est liée au travail de la force conservative  \overrightarrow{F_c} par la relation suivante :

\Delta_{AB} E_p=–W_{AB}\left( \overrightarrow{F_c} \right)

Le travail d'une force conservative traduit donc la variation d'énergie potentielle.

C

Énergie potentielle de pesanteur

Le poids étant une force conservative, il dérive d'une énergie potentielle, appelée énergie potentielle de pesanteur et notée EPP.

Expression de l'énergie potentielle de pesanteur

L'énergie potentielle de pesanteur  E_{pp}  d'un système de masse  m  est l'énergie qu'il possède du fait de son altitude  z  par rapport à la référence des énergies potentielles de pesanteur (généralement le sol ou le support sur lequel a lieu le mouvement) :

E_{pp \left(\text{J}\right)} = m_{\left(\text{kg}\right)} \times g_{\left({N·kg}^{–1}\right)} \times z_{\left(\text{m}\right)}

g est l'intensité de la pesanteur :  g = 9,81 \,\text{N.kg}^{−1}.

L'énergie potentielle de pesanteur d'un solide de masse 10 kg situé à 2,50 m au-dessus du sol est :

E_{pp} = m \times g \times z = 10 \times 9,81 \times 2,50 = 2,5 \times 10^{2} \text{ J}

La variation d'énergie potentielle de pesanteur d'un système en mouvement est bien égale à l'opposé du travail du poids.

La variation d'énergie potentielle de pesanteur d'un système se déplaçant entre deux points  A  et  B  est :

\Delta_{AB} E_{pp} = E_{ppB} – E_{ppA} = m \times g \times z_{B} – m \times g \times z_{A} = m \times g \times (z_{B} – z_{A})

Ce qui est bien l'expression opposée du travail de son poids :

–W_{AB}\left( \overrightarrow{P} \right) = –m \times g \times (z_{A} – z_{B}) = m \times g \times (z_{B} – z_{A})

II

Théorème de l'énergie mécanique

A

L'énergie mécanique

On regroupe sous le nom d'énergie mécanique les deux types d'énergie qui varient généralement lors du mouvement d'un système : l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de pesanteur.

Énergie mécanique 

L'énergie mécanique EM d'un système est la somme de son énergie cinétique  E_c  et de son énergie potentielle de pesanteur  E_{pp}  :

E_{M \left(\text{J}\right) }= E_{C \left(\text{J}\right)} + E_{pp \left(\text{J}\right)}

L'énergie mécanique d'un solide de masse 10 kg se déplaçant avec une vitesse de valeur 2,0 m·s−1 à une altitude de 2,50 m par rapport au sol (référence des énergies potentielles de pesanteur) est :

E_{M} = E_{C} + E_{pp} = \dfrac{1}{2} \times m\times v^2 + m \times g \times z = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 2,0^2 + 10 \times 9,81 \times 2,5 = 2,7 \times 10^2\text{ J}  

B

Énoncé du théorème de l'énergie mécanique

Théorème de l'énergie mécanique

Au cours d'un mouvement d'un système entre un point A et un point B, la variation d'énergie mécanique \Delta_{AB}E_m  d'un système est égale au travail des forces non conservatives   W_{AB}\left( \overrightarrow{F_{nc}} \right)  :  \Delta_{AB}E_m=W_{AB}\left( \overrightarrow{F_{nc}} \right) .

Le plus souvent, la force non conservative qui s'exerce sur le système est la force de frottements, dont le travail est négatif : 

\Delta_{AB}E_m=W_{AB}\left( \overrightarrow{f} \right) \lt 0 \text{ J}

Ainsi, dans cette situation, l'énergie mécanique du système diminue : une partie de l'énergie du système est dissipée et est transférée au milieu extérieur, généralement sous forme d'énergie thermique (chaleur).

Dans le cas où le système n'est soumis qu'à des forces conservatives (comme le poids et la réaction normale), il n'y a pas de travail des forces non conservatives, on en déduit que la variation d'énergie mécanique   \Delta_{AB}E_m est nulle : l'énergie mécanique du système se conserve.

III

Applications

A

Calcul d'une grandeur liée au mouvement du système

À l'instar du théorème de l'énergie cinétique, le théorème de l'énergie mécanique permet de déterminer une grandeur liée au mouvement du système, les autres grandeurs étant connues.

Méthode
Pour déterminer une grandeur à l'aide du théorème de l'énergie mécanique, on suit les étapes suivantes.

On précise le système étudié et on fait le bilan des forces extérieures qu'il subit en indiquant si elles sont conservatives ou pas. 

Afin d'exprimer le travail des forces non conservatives, un schéma de la situation peut être utile.

On écrit la relation traduisant le théorème de l'énergie mécanique en précisant le référentiel utilisé (qui doit être galiléen) : \Delta_{AB}E_m=W_{AB}\left( \overrightarrow{F_{nc}} \right) .

On développe chaque terme de la relation précédente (les énergies cinétiques et potentielles de pesanteur aux points A et B ainsi que les travaux des forces non conservatives), en repérant, le cas échéant, ceux qui sont nuls : soit parce que la vitesse ou l'altitude du système est nulle en l'un des points A ou B, soit parce qu'aucune force conservative ne travaille.

On isole la grandeur à déterminer et on la calcule à partir des autres grandeurs qui sont données.

On étudie le mouvement d'un chariot d'une montagne russe de masse 90 kg qui entame son parcours à partir d'un point A d'altitude z_A = 14\text{ m}  où sa vitesse est nulle. Sachant qu'au point B, d'altitude z_B = 0\text{ m}, sa vitesse est de 11,5 m·s–1, et que la distance parcourue est AB = 30\text{  m}, on cherche à déterminer la valeur de la force de frottements \overrightarrow{f}  qui existe entre les rails et le chariot.

-

Le système étudié est le chariot. Pendant ce mouvement, il est soumis à son poids \overrightarrow{P} , à la réaction normale \overrightarrow{R_N} et aux forces de frottements \overrightarrow{f} exercés par les rails.

On sait que :

  • le poids  \overrightarrow{P}  est une force verticale ;
  • la réaction normale \overrightarrow{R_N}  est une force perpendiculaire au support (les rails ici) ;
  • la force de frottements \overrightarrow{f} est opposée au déplacement du chariot.

D'où le schéma suivant :

-

Dans le référentiel terrestre qui est galiléen, la variation de l'énergie mécanique du chariot entre les points A et B est égale au travail de la force non conservative, la force de frottements \overrightarrow{f}  ici qui s'exerce sur lui. 

Soit :

\Delta_{AB}E_M= W_{AB}\left(\overrightarrow{f}\right)

D'où, ici :

\Delta_{AB}E_c + \Delta_{AB}E_{pp} = W_{AB}\left(\overrightarrow{f}\right)

Soit :

E_{cB} + E_{ppB} – (E_{cA} + E_{ppA}) = W_{AB}\left(\overrightarrow{f}\right)

Or : 

  • l'énergie cinétique au point A est nulle, puisque la vitesse du chariot y est nulle : E_{cA} = 0\text{ J}  ;
  • l'énergie potentielle de pesanteur au point B est nulle, puisque l'altitude du chariot y est nulle : E_{ppB} = 0 \text{ J}.

 

On obtient donc la relation :

E_{cB} – E_{ppA} = W_{AB}\left(\overrightarrow{f}\right)

Soit :

«  E_{cB} – E_{ppA} = \overrightarrow{f} \times \overrightarrow{AB} = f \times AB \times \text{cos} 180  »

«  \dfrac{1}{2} \times m \times v_B^2  – m\times g \times z_A = –f \times AB  »

On isole alors la valeur de la force de frottements que l'on souhaite déterminer : f = –\dfrac{\dfrac{1}{2} \times m \times v_B^2 – m\times g \times z_A }{AB} \\f = –\dfrac{\dfrac{1}{2} \times 90 \times (11,5)^2 – 90 \times 9,81 \times 14 }{30} \\ f = 2,1 \times 10^2 \text{ N}

La valeur de la force de frottements qu'exercent les rails sur le chariot est donc 2,1 \times 10^2\text{ N}.

B

Conservation de l'énergie mécanique lors d'une chute libre

Chute libre

Un solide est en chute libre quand il n'est soumis qu'à son poids ou que les autres forces qui s'exercent sur lui sont négligeables devant son poids.

Un parachutiste saute d'un avion et l'on néglige les frottements que l'air exerce sur lui :

  • Avant qu'il n'ouvre son parachute, il n'est soumis qu'à son poids : il est donc en chute libre.
  • Après qu'il a ouvert son parachute, il est soumis à son poids et à l'action de l'air sur la toile du parachute : il n'est donc plus en chute libre.

Puisqu'un système en chute libre n'est soumis qu'à son poids, son énergie mécanique se conserve :

\Delta_{AB}E_m = 0 \text{ J}

On peut en déduire qu'au cours de la chute libre il y a conversion de l'énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique :

\Delta_{AB}E_m = \Delta_{AB}E_c +\Delta_{AB}E_{pp} = 0 \text{ J}

Une balle est lâchée depuis une certaine hauteur.

Chute libre d'une balle lâchée

Chute libre d'une balle lâchée

Au cours de la chute libre de la balle, son altitude, et donc son énergie potentielle de pesanteur, diminue alors que sa vitesse, et donc son énergie cinétique, augmente.

Variations des énergies cinétique et potentielle de pesanteur lors de la chute libre d'une balle

Variations des énergies cinétique et potentielle de pesanteur lors de la chute libre d'une balle

Au cours de sa chute, son énergie mécanique est donc conservée :

Variations des énergies cinétique, potentielle de pesanteur et mécanique lors de la chute libre d'une balle

Variations des énergies cinétique, potentielle de pesanteur et mécanique lors de la chute libre d'une balle

C

Dissipation de l'énergie mécanique lors d'une chute avec frottements

Les frottements \overrightarrow{f} sont des forces non conservatives dont le travail est résistant. 

Ainsi, l'énergie mécanique d'un système en chute soumis à des frottements diminue : 

\Delta_{AB}E_m = W_{AB}\left( \overrightarrow{f} \right) \lt 0 \text{ J}

On peut en déduire qu'au cours de cette chute la conversion de l'énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique n'est pas intégrale, une partie de l'énergie mécanique du système est dissipée (convertie sous forme d'énergie thermique, transférée au milieu extérieur) :

\Delta_{AB}E_m = \Delta_{AB}E_c +\Delta_{AB}E_{pp} \lt 0 \text{ J}\\\Delta_{AB}E_c \lt \Delta_{AB}E_{pp}

Expression de l'énergie dissipée :

E_{\text{dissipée}} = \Delta_{AB}E_{pp} - \Delta_{AB}E_c

Une balle est lâchée et est soumise à des frottements au cours de sa chute.

Chute libre d'une balle lâchée soumise à des frottements

Chute libre d'une balle lâchée soumise à des frottements

À cause des frottements, son énergie mécanique n'est pas conservée et diminue progressivement.

Variations des énergies cinétique, potentielle de pesanteur et mécanique dans le cas d'une chute avec frottements

Variations des énergies cinétique, potentielle de pesanteur et mécanique dans le cas d'une chute avec frottements

D

Transferts énergétiques lors des oscillations d'un pendule

Un pendule simple est un oscillateur mécanique libre.

Oscillateur mécanique libre

Un oscillateur mécanique libre est un système possédant un mouvement périodique, dont la période  T_0  est appelée période propre, dû à des oscillations autour d'une position d'équilibre et qui se font sans intervention extérieure.

Oscillations d'un pendule simple
Oscillations d'un pendule simple

À l'instar d'un système en chute libre, au cours des oscillations du pendule, il y a conversion de son énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique.

Variations des énergies cinétique et potentielle de pesanteur pendant les oscillations d'un pendule

Variations des énergies cinétique et potentielle de pesanteur pendant les oscillations d'un pendule

  • En l'absence de frottements (et sans échanges de chaleur), il y a conversion de l'énergie cinétique en énergie potentielle de pesanteur et inversement, sans perte d'énergie. L'énergie mécanique du pendule est donc conservée.
-
  • S'il existe des forces de frottements, lors de la conversion de l'énergie cinétique en énergie potentielle de pesanteur et inversement, une partie de l'énergie est dissipée (car les forces de frottements sont des forces non conservatives). L'énergie mécanique n'est ainsi plus conservée et diminue progressivement.
-
IV

Récapitulatif

Force conservative

Force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des points de départ et d'arrivée A et B, comme le poids mais pas les forces de frottements.

Énergie potentielle

Énergie stockée par le système, potentiellement disponible et pouvant être convertie en une autre forme d'énergie. 

Elle est toujours liée au travail d'une force conservative :

\Delta_{AB} E_p=–W_{AB}\left(\overrightarrow{F_c} \right)

Énergie potentielle de pesanteur E_{pp}

Énergie qu'un système possède du fait de son altitude z par rapport à la référence des énergies potentielles de pesanteur :

E_{pp \left(\text{J}\right)} = m_{\left(\text{kg}\right)} \times g_{\left({N·kg}^{–1}\right)} \times z_{\left(\text{m}\right)}

g est l'intensité de la pesanteur :  g = 9,81 \ { N·kg}^{−1}

Énergie mécanique  E_M  

Somme de l'énergie cinétique  E_c  et de l'énergie potentielle de pesanteur  E_{pp}  du système :

E_{M \left(\text{J}\right) }= E_{C \left(\text{J}\right)} + E_{pp \left(\text{J}\right)}

Théorème de l'énergie mécanique

Au cours d'un mouvement d'un système entre un point A et un point B, la variation d'énergie mécanique «  \Delta_{AB}E_m  » d'un système est égale au travail des forces non conservatives W_{AB}\left( \overrightarrow{F_{nc}} \right)

\Delta_{AB}E_m=W_{AB}\left( \overrightarrow{F_{nc}} \right)

Chute libre

Un solide est en chute libre quand il n'est soumis qu'à son poids ou que les autres forces qui s'exercent sur lui sont négligeables devant son poids.

Oscillateur mécanique libre

Système possédant un mouvement périodique, dont la période  T_0  est appelée période propre, dû à des oscillations autour d'une position d'équilibre et qui se font sans intervention extérieure.

Énergie mécanique d'un système en chute libre ou d'un oscillateur mécanique libre

Un système en chute libre ou un oscillateur mécanique libre ne sont soumis qu'à des forces conservatives, donc leur énergie mécanique se conserve et il y a un transfert de l'énergie potentielle de pesanteur  E_{pp}  en énergie cinétique  E_c  :

\Delta_{AB}E_m = \Delta E_C + \Delta E_{PP} = 0 \text{ J}

Dans le cas où ces systèmes sont soumis à des frottements, leur énergie mécanique diminue :

\Delta_{AB}E_m = W_{AB}\left( \overrightarrow{f} \right) \lt 0 \text{ J}