Terminale L 2016-2017
Kartable
Terminale L 2016-2017

La dérivation

I

Le nombre dérivé

Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.

A

Le taux d'accroissement

Taux d'accroissement

Soit un réel a appartenant à l'intervalle I. Pour tout réel h non nul tel que a+h appartienne à I, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a+h le quotient :

f(a+h)f(a)h

En posant x=a+h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :

f(x)f(a)xa

Nombre dérivé

Soit a un réel de l'intervalle I. Une fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).

Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f(a) :

limh0f(a+h)f(a)h=limxaf(x)f(a)xa=f(a)

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x2+1.

Son taux d'accroissement en 1 est égal à :

(x2+1)(12+1)x1=x21x1=(x+1)(x1)x1=x+1

Or :

limx1x+1=2 et 2

On en déduit que la fonction f est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est f(1)=2.

Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

B

La tangente à une courbe d'une fonction en un point

Tangente

Soit a un réel de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées (a;f(a)), de coefficient directeur f(a), dont une équation est :

y=f(a)(xa)+f(a)

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x2+1. f est dérivable en 1, on peut donc établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :

y=f(1)(x1)+f(1)

Or :

  • f(1)=2
  • f(1)=12+1=2

On obtient donc :

y=2(x1)+2

y=2x2+2

y=2x

La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 a pour équation y=2x.

II

La fonction dérivée

A

La dérivée sur un intervalle

Fonction dérivée

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction notée f', qui a tout réel x de I associe f(x).

Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.

Dérivée seconde

Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Si f' est également dérivable sur I, la dérivée de f' sur I, notée f'', est appelée dérivée seconde de f sur I ou dérivée d'ordre 2 de f sur I.

B

Les dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel λ et un entier naturel n ; on désigne par Df le domaine de définition de f et par Df son domaine de dérivabilité.

Les dérivées des fonctions usuelles sont données dans le tableau suivant :

f(x)f(x)DfDf
λ0
x1
xn(n1)nxn1
1xn(n1)nxn+1
x12x++
C

Les opérations sur les dérivées

Soit un réel λ, on désigne par u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

ff
λuλu
u+vu+v
uvuv+uv
1v (si v ne s'annule pas sur I )vv2
uv (si v ne s'annule pas sur I )uvuvv2
D

Les dérivées de fonctions composées

ff
un(n1)nuun1
u (si u(x)>0 )u2u
III

Les applications de la dérivation

A

Le sens de variation d'une fonction

Sens de variation

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Soit f la fonction définie sur par f(x)=x33x+1. f est dérivable sur en tant que fonction polynôme et, pour tout réel x :

f(x)=3x23=3(x21)=3(x1)(x+1)

On détermine le signe de f(x) :

-

On en déduit le sens de variation de f :

  • f est croissante sur ];1] et sur [1;+[.
  • f est décroissante sur [1;1].

Stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
B

Les extremums locaux d'une fonction

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

  • Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f(a)=0 et f change de signe en a.
  • Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f(a) est un extremum local de f.

Si f s'annule en a et y passe d'un signe négatif à un signe positif, alors l'extremum est un minimum.

Si f s'annule en a et y passe d'un signe positif à un signe négatif, alors l'extremum est un maximum.

On reprend l'exemple de la fonction f définie sur par f(x)=x33x+1. On sait que f' s'annule et change de signe en 1, avec f(x)0 sur [1;1] et f(x)0 sur [1;+[.

Ainsi, f admet un minimum local en 1.

f' peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0.

Tangente horizontale

Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.

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