Terminale L 2016-2017
Kartable
Terminale L 2016-2017

Montrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f

Une fonction F est une primitive d'une autre fonction f si et seulement si la dérivée F' de la fonction F est égale à f.

Montrer que la fonction F définie sur par F(x)=(2x+5)e2x+3 est une primitive de la fonction f définie sur par f(x)=(4x+12)e2x+3.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que F est une primitive sur I si et seulement si :

xI, F(x)=f(x)

F est une primitive de f sur si et seulement si, x, F(x)=f(x).

Etape 2

Dériver F

On justifie la dérivabilité de F sur l'intervalle I puis on dérive F sur ce même intervalle.

F est dérivable sur en tant que produit de fonctions dérivables sur .

On remarque que F=uv, avec, pour tout réel x :

  • u(x)=2x+5
  • v(x)=e2x+3

Donc F=uv+uv, avec, pour tout réel x :

  • u(x)=2
  • v(x)=2e2x+3

On en déduit que :

x, F(x)=2×e2x+3+(2x+5)×2e2x+3

Finalement :

x, F(x)=(4x+12)e2x+3

Etape 3

Conclure

On conclut que F est une primitive de f sur I.

On a bien, x, F(x)=f(x).

Donc la fonction F est bien une primitive de f sur .

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