Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Etude de fonctions et fonctions trigonométriques

I

Existence et représentation graphique

A

Le domaine de définition

Domaine de définition

Le domaine de définition Df d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.

L'ensemble de définition de la fonction f d'expression f(x)=3x5+5x31 est Df=.

B

La courbe représentative

Courbe représentative

La courbe représentative Cf d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées (x;f(x)), pour tous les réels x du domaine de définition de f.

-
II

Comportement

A

Le sens de variation

Fonction croissante

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x<y :

f(x)f(y)

-

Fonction décroissante

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x<y :

f(x)f(y)

-

Fonction strictement croissante

Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x<y :

f(x)<f(y)

Fonction strictement décroissante

Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x<y :

f(x)>f(y)

Fonction constante

Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I :

f(x)=a

-
B

Signe de la dérivée

Sens de variation

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • Si f est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
C

Les extremums

Maximum

Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus grand réel f(x) pour x décrivant I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle [0;2].

-

Minimum

Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus petit réel f(x) pour x décrivant I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle [0;2].

-

Un extremum est un maximum ou un minimum.

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

  • Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f(a)=0.
  • Si f s'annule en changeant de signe en a, alors f(a) est un extremum local de f.
III

Opérations

A

Opérations et variations

Sens de variation de f+g

Si deux fonctions f et g ont le même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction h=f+g possède également le même sens de variation sur I.

Les fonctions f et g définies pour tout réel x par f(x)=x2 et g(x)=x3 sont croissantes sur [0;+[.

La fonction h définie pour tout réel x par h(x)=(f+g)(x)=x2+x3 est donc également croissante sur [0;+[.

Sens de variation de kf avec k>0

Soit k un réel strictement positif. La fonction g=kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.

Soit la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x2. f est croissante sur [0;+[.

Soit g la fonction définie pour tout réel x par g(x)=3f(x)=3x2. Comme 3>0, la fonction g est également croissante sur [0;+[.

Sens de variation de kf avec k<0

Soit k un réel strictement négatif. La fonction g=kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.

Soit la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x2. f croissante sur [0;+[.

Soit g la fonction définie pour tout réel x par g(x)=5f(x)=5x2. On a 5<0, donc g est décroissante sur [0;+[.

Sens de variation de u

Soit u une fonction positive sur I.

Les fonctions u et u ont le même sens de variation sur I.

La fonction f définie pour tout réel x de + par f(x)=1x est positive et décroissante sur +.

La fonction g définie pour tout réel x de + par g(x)=1x est donc décroissante sur +.

Sens de variation de 1u

Soit u une fonction ne s'annulant pas sur I.

Les fonctions u et 1u ont des sens de variation contraires sur I.

Soit f la fonction définie sur ]53;+[, à valeurs non nulles dans ]53;+[, par f(x)=3x+5. f est croissante sur ]53;+[.

La fonction g définie sur ]53;+[ par g(x)=13x+5 est donc décroissante sur ]53;+[.

B

Le signe d'une fonction

Fonction positive

Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f(x)0

Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses sur I.

La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle [0;2].

-

Fonction négative

Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f(x)0

Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses sur I.

La fonction représentée ci-contre est négative sur l'intervalle [0;2].

-
IV

Les fonctions trigonométriques

A

Propriétés de parité et de périodicité d'une fonction

1

Fonctions paires et impaires : domaine de définition

Fonction paire

Soit f une fonction définie sur I. f est paire si et seulement si :

  • I est centré en 0.
  • Pour tout xI, f(x)=f(x).

Soit la fonction f(x)=x2 définie sur .

  • est centré en 0.
  • Pour tout réel x, f(x)=(x)2=x2=f(x).

La fonction f est donc paire.

La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

-
Fonction impaire

Soit f une fonction définie sur I. f est impaire si et seulement si :

  • I est centré en 0.
  • Pour tout xI, f(x)=f(x).

Soit la fonction définie sur par f(x)=x3.

  • est centré en 0.
  • Pour tout réel x, f(x)=(x)3=x3=f(x).

La fonction f est donc impaire.

La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

-
2

Périodicité d'une fonction

Fonction périodique

Soit f une fonction définie sur I. Soit T un réel strictement positif.

f est périodique de période T (ou T-périodique) si et seulement si :

  • Pour tout réel x tel que xI, on a également x+TI.
  • Pour tout réel x appartenant à I, f(x+T)=f(x).
-

Soit la fonction définie sur par f(x)=sin(x).

Pour tout réel x :

  • Pour tout x, on a (x+2π)
  • f(x+2π)=sin(x+2π)=sin(x)=f(x)

Donc la fonction f est périodique de période 2π.

B

La fonction sinus

1

Définition

Fonction sinus

La fonction sinus est définie sur par :

f(x)=sin(x)

  • La fonction sinus est impaire.
  • La fonction sinus est périodique de période 2π.
  • Pour tout réel x, 1sin(x)1
  • La fonction sinus est dérivable et continue sur et la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.
Taux d'accroissement et limite

En reconnaissant le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0 :

limx0sin(x)x=sin(0)=cos(0)=1

2

Sens de variation

Sur [π2;3π2], les variations de la fonction sinus sont les suivantes :

-
3

Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction sinus est la suivante :

-
C

La fonction cosinus

1

Définition

Fonction cosinus

La fonction cosinus est définie sur par :

f(x)=cos(x)

  • La fonction cosinus est paire.
  • La fonction cosinus est périodique de période 2π.
  • Pour tout réel x, 1cos(x)1
  • La fonction cosinus est dérivable et continue sur et la dérivée de la fonction cosinus est l'opposé de la fonction sinus.
2

Sens de variation

Les variations de la fonction cosinus sur [π;π] sont les suivantes :

-
3

Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction cosinus est la suivante :

-
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