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Déterminer une équation cartésienne de plan

Méthode 1

En utilisant la formule du cours

On peut déterminer une équation cartésienne d'un plan P à partir d'un point du plan et d'un vecteur normal au plan.

Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point \(\displaystyle{A\left(2;1;1\right)}\) et admettant pour vecteur normal le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}}\).

Etape 1

Déterminer un point et un vecteur normal du plan

On détermine les coordonnées d'un point A du plan et d'un vecteur normal au plan noté \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) :

  • Soit l'énoncé donne directement le point A et un vecteur normal \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\).
  • Soit l'énoncé donne le point A et précise que le plan doit être perpendiculaire à une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) dont la représentation paramétrique est donnée. Dans ce cas, on choisit un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) comme vecteur normal \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\).

L'énoncé fournit directement :

  • Un point A de P : \(\displaystyle{A\left(2;1;1\right)}\)
  • Un vecteur normal à P : \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}}\)
Etape 2

Déterminer a, b et c

Si \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \cr\cr c \end{pmatrix}}\) est normal à P, P admet une équation cartésienne de la forme \(\displaystyle{ax+by+cz+d=0}\)d est un réel à déterminer.

Le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}}\) est normal à P, donc P admet une équation cartésienne de la forme \(\displaystyle{x+3y-z+d=0}\).

Etape 3

Déterminer d en utilisant les coordonnées du point

On utilise les coordonnées du point A pour déterminer d. Comme A est un point du plan, d est obtenu en résolvant l'équation suivante d'inconnue d :

\(\displaystyle{ax_A+by_A+cz_A+d=0}\)

Le point \(\displaystyle{A\left(2;1;1\right)}\) est un élément du plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation de P. On a donc :

\(\displaystyle{2+3\times1-1+d=0}\)

Soit finalement :

\(\displaystyle{d=-4}\)

Etape 4

Conclure

On peut donc conclure que \(\displaystyle{ax+by+cz+d=0}\) est une équation cartésienne du plan P.

Une équation cartésienne de P est donc \(\displaystyle{x+3y-z-4=0}\).

Méthode 2

En redémontrant la formule

On peut déterminer une équation cartésienne d'un plan P à partir d'un point du plan et d'un vecteur normal au plan en réutilisant la démarche de la démonstration vue en cours.

Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point \(\displaystyle{A\left(2;1;1\right)}\) et admettant pour vecteur normal le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}}\).

Etape 1

Déterminer un point et un vecteur normal du plan

On détermine les coordonnées d'un point A du plan et d'un vecteur normal au plan noté \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) :

  • Soit l'énoncé donne directement le point A et un vecteur normal \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\).
  • Soit l'énoncé donne le point A et précise que le plan doit être perpendiculaire à une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) dont la représentation paramétrique est donnée. Dans ce cas, on choisit un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) comme vecteur normal \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\).

L'énoncé nous fournit directement :

  • Un point A de P : \(\displaystyle{A\left(2;1;1\right)}\)
  • Un vecteur normal à P : \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}}\)
Etape 2

Écrire la condition d'appartenance d'un point M au plan P

Un point \(\displaystyle{M\left(x;y;z\right)}\) est un élément de P si et seulement si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) sont orthogonaux, donc si et seulement si \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0}\).

Un point \(\displaystyle{M\left(x;y;z\right)}\) est un élément de P si et seulement si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) sont orthogonaux, donc si et seulement si \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0}\).

Etape 3

Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}}\)

Les coordonnées du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) sont notées \(\displaystyle{\begin{pmatrix} a \cr\cr b \cr\cr c \end{pmatrix}}\). Elles sont données par l'énoncé.

En notant respectivement \(\displaystyle{A\begin{pmatrix} x_A & y_A & z_A \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{M\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}}\), on obtient :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-x_A \cr\cr y-y_A \cr\cr z-z_A \end{pmatrix}}\)

D'après l'énoncé, on a \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{A\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}}\).

En notant \(\displaystyle{M\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}}\), on obtient :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-2 \cr\cr y-1 \cr\cr z-1 \end{pmatrix}}\)

Etape 4

Expliciter et simplifier la condition d'appartenance du point M au plan P

On peut donc maintenant expliciter et simplifier la condition d'appartenance trouvée en étape 2. Cette dernière devient :

\(\displaystyle{a\left(x-x_A\right)+b\left(y-y_A\right)+c\left(z-z_A\right)=0}\)

Soit finalement :

\(\displaystyle{ax+by+cz-ax_A-by_A-cz_A=0}\)

On a donc :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow \left(x-2\right)+3 \left(y-1\right)- \left(z-1\right)=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x+3y-z-2-3+1=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x+3y-z-4=0}\)

Etape 5

Conclure

On peut donc finalement conclure qu'une équation cartésienne du plan P est l'équation suivante :

\(\displaystyle{ax+by+cz-ax_A-by_A-cz_A=0}\)

Une équation cartésienne du plan P est donc l'équation suivante :

\(\displaystyle{x+3y-z-4=0}\)

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