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Montrer qu'un point appartient à une droite

Un point A appartient à une droite D dont on connaît une représentation paramétrique si et seulement s'il existe un unique réel t tel que les coordonnées de A vérifient le système.

On considère la droite D dont on donne une représentation paramétrique :

\(\displaystyle{\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=-1+t \cr \cr z=3+2t \end{cases}}\), \(\displaystyle{t\in \mathbb{R}}\)

Déterminer si le point \(\displaystyle{A\left(4;1;7\right)}\) appartient à la droite D.

Etape 1

Rappeler la représentation paramétrique de la droite

On rappelle la représentation paramétrique de la droite donnée dans l'énoncé.

D'après l'énoncé, on a :

\(\displaystyle{\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=-1+t \cr \cr z=3+2t \end{cases}}\), \(\displaystyle{t\in \mathbb{R}}\)

Etape 2

Remplacer les coordonnées du point

On remplace les coordonnées du point A dans la représentation paramétrique.

On a \(\displaystyle{A\left(4;1;7\right)}\). On remplace ses coordonnées dans la représentation paramétrique de D.

A appartient à la droite D si et seulement s'il existe un réel t tel que :

\(\displaystyle{\begin{cases} 4=2+t \cr \cr 1=-1+t \cr \cr 7=3+2t \end{cases}}\)

Etape 3

Résoudre le système et conclure

On résout le système.

Deux cas se présentent alors :

  • Le système est impossible (on obtient plusieurs valeurs différentes de t). Dans ce cas, le point A n'appartient pas à la droite D.
  • On obtient une solution \(\displaystyle{t_0}\). Dans ce cas, le point A appartient à la droite D.

On résout le système :

\(\displaystyle{\begin{cases} 4=2+t \cr \cr 1=-1+t \cr \cr 7=3+2t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} t=2\cr \cr t=2\cr \cr2t = 4 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} t=2\cr \cr t=2\cr \cr t = 2 \end{cases}}\)

On en déduit que le point A appartient à la droite D.

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