Troisième 2015-2016
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Troisième 2015-2016

Les équations et les inéquations

I

Résoudre une équation

A

Les équations de la forme ax=b

Equation de la forme ax=b

Soient a et b deux nombres connus, avec a différent de 0.
L'équation ax=b, d'inconnue x, admet une unique solution :

x=ba

L'équation 7x=15 admet pour unique solution x=157.

Il est souvent nécessaire de transformer l'expression d'une équation pour aboutir à la forme ax=b.

8x+6=5x+26

8x+5x=266

13x=20

x=2013

La solution de l'équation est 2013.

Les transformations suivantes permettent d'aboutir à la forme souhaitée sans altérer les solutions de l'équation :

  • Développer
  • Réduire
  • Factoriser
  • Ajouter ou soustraire une même expression à droite et à gauche
  • Multiplier ou diviser à droite et à gauche par un même nombre non nul

Soit l'équation suivante :

3(2x6)+12=64(x+1)

On développe chaque membre :

6x+18+12=64x4

On regroupe les termes contenant x dans le membre de gauche et les termes constants dans le membre de droite. Pour cela, dans chaque membre, on effectue les opérations suivantes : on ajoute 4x, on soustrait 18 et 12. On obtient ainsi :

6x+4x=641812

On réduit chaque membre.

2x=40

On divise chaque membre par −2.

x=402

x=20

La solution de l'équation est 20.

B

Produit de facteurs égal à zéro

Produit de facteurs égal à zéro

Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.

Considérons l'équation suivante :

(2x1)(x+5)=0.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs au moins est nul. Ainsi on a :

2x1=0 ou x+5=0.

C'est-à-dire :

x=12 ou x=5.

Conclusion :

Les solutions de l'équation sont 12 et −5.

Pour résoudre certaines équations du second degré, on factorise de manière à se ramener à un produit de facteurs égal à zéro.

On veut résoudre l'équation :

(x+1)24=0

(x+1)222=0

On factorise le membre de gauche à l'aide de l'identité remarquable a2b2=(a+b)(ab) :

(x+1+2)(x+12)=0

(x+3)(x1)=0

Le membre de gauche est nul si :

x+3=0 ou x1=0

C'est-à-dire si :

x=3 ou x=1

Les solutions de l'équation sont donc : −3 et 1.

C

Les équations de la forme x2=a

Equation de la forme x2=a

Soit a un nombre connu.
L'équation x2=a, d'inconnue x, admet :

  • deux solutions si a>0 : a et a
  • une solution si a=0 : 0
  • aucune solution si a<0.

L'équation x2=81 a pour solutions x=81=9 et x=81=9.

L'équation x2=12 n'a pas de solution car −12 < 0.

Il est possible, lorsque a0, de ramener l'équation x2=a à une équation mise sous la forme de produit égal à 0.

On considère l'équation :

x2=81

On soustrait 81 à chaque membre :

x281=0

x292=0

On factorise le membre de gauche en utilisant l'identité remarquable a2b2=(ab)(a+b) :

(x9)(x+9)=0

Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul, donc :

x9=0 ou x+9=0

Ainsi :

x=9 ou x=9

Les solutions de l'équation sont donc : 9 et −9.

II

Résoudre une inéquation

A

Résolution et intervalles solutions

Intervalle solution

Soient a et b deux nombres connus, avec a différent de 0.
Les inéquations du premier degré ax>b, axb, ax<b, axb, d'inconnue x, admettent une infinité de solutions. On parle d'intervalle solution.

Considérons l'inéquation 3x>8. Tous les nombres strictement supérieurs à 83 sont solutions.

Afin d'obtenir la forme souhaitée sans altérer les solutions de l'inéquation, on utilise les mêmes transformations que pour les équations. Le sens de l'inéquation n'est pas modifié dans les cas suivants :

  • Si on développe, on factorise ou on réduit une expression.
  • Si on ajoute, ou soustrait, un même nombre à chaque membre de l'inégalité.
  • Si on multiplie, ou divise, par un même nombre positif, non nul, chaque membre de l'inégalité.

On souhaite résoudre, l'inéquation :

4(3x+3)2(8+x)

On développe chaque membre :

12x+1216+2x

On regroupe les termes contenant x dans le membre de gauche et les termes constants dans le membre de droite. Pour cela, dans chaque membre, on effectue les opérations suivantes : on soustrait 12 et 2x. On obtient ainsi :

12x2x1612

On réduit chaque membre :

10x4

On divise chaque membre par 10, qui est positif. Le sens de l'inégalité n'est pas modifié :

x410

On simplifie la fraction :

x25

Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 25.

  • Lorsque l'on soustrait un nombre à chaque membre d'une inéquation, cela revient à ajouter l'opposé. Donc on ne change pas le sens de l'inégalité.
  • Lorsque l'on divise par un nombre positif, non nul, chaque membre d'une inéquation, cela revient à multiplier par l'inverse, positif. Donc on ne change pas le sens de l'inégalité.

Considérons l'inéquation :

8x+13>37

On soustrait 13 à chaque membre :

8x+1313>3713

Ce qui équivaut à :

8x+13+(13)>37+(13)

On réduit :

8x>24

On divise chaque membre par 8, qui est positif :

8x8>248

Ce qui équivaut à :

8x×18>24×18

On réduit chaque membre :

x>3

Les solutions de l'inéquation sont donc tous les nombres strictement supérieurs à 3.

Dans le cas de la multiplication ou de la division des deux membres de l'inéquation par un même nombre négatif non nul, le signe de l'inégalité change de sens :

  • < devient >, et inversement ;
  • devient , et inversement.

On veut résoudre l'inéquation : 2x+1<5

On isole le terme en x à gauche et les nombres connus à droite :

2x<51

On réduit le membre de droite :

2x<4

On divise les deux membres par 2, en changeant le sens de l'inégalité :

x>42

On obtient finalement :

x>2

Les solutions de cette inéquation sont donc tous les nombres strictement plus grand que −2.

B

Représentation graphique des solutions sur un axe

Soit a un nombre connu.
On peut représenter un intervalle solution sur un axe gradué :

  • On utilise un crochet orienté vers l'intérieur pour signifier que le nombre a est inclus dans les solutions.
  • On utilise un crochet orienté vers l'extérieur pour signifier que le nombre a est exclu des solutions.

Ici, l'intervalle solution est en bleu.

xa

-

x>a

-

xa

-

x<a

-
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