La fonction exponentielleCours

I

Les propriétés caractéristiques de l'exponentielle

A

La caractérisation

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée \exp, est l'unique fonction f telle que :

  • f est dérivable sur \mathbb{R}
  • f' = f
  • f\left(0\right) = 1

Pour tous réels x et y :

\exp\left(x + y\right) = \exp\left(x\right) \times \exp\left(y\right)

On note e le nombre \exp\left(1\right). On a : e\approx 2,718.

L'écriture courante de \exp\left(x\right) est e^{x} .
B

Le signe

Pour tout réel x,

e^{x} \gt 0

Soit la fonction f définie pour tout réel x par :

f\left(x\right)=e^{-2x}

La fonction f est strictement positive sur \mathbb{R}.

C

Les propriétés algébriques

Soient deux réels x et y :

e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y

e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y

La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances. Soient deux réels x et y, et un entier relatif n :

e^{x+y} = e^{x} e^{y}

e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}

e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^{y}}

\left(e^{x}\right)^{n} = e^{nx}

II

Étude de la fonction exponentielle

A

Les limites

Limites

Les limites de la fonction exponentielle aux bornes de son ensemble de définition sont :

\lim\limits_{x \to -\infty } e^{x} = 0

\lim\limits_{x \to +\infty } e^{x} = + \infty

Croissances comparées

\lim\limits_{x \to -\infty } x e^{x} = 0

\lim\limits_{x \to +\infty }\dfrac{e^x}{x}= + \infty

Taux d'accroissement

Le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 étant égal à 1 :

\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{x} - 1}{x}= 1

B

La dérivée

Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable (et donc continue) sur \mathbb{R}. Pour tout réel x :

\exp'\left(x\right) = \exp\left(x\right) = e^{x}

Dérivée de e^{u}

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La composée e^{u} est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

\left(e^{u}\right)'\left(x\right) = u'\left(x\right) e^{u\left(x\right)}

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=e^{3x+6}. On pose, pour tout réel x :

  • u\left(x\right)=3x+6
  • Comme fonction affine, u est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, u'\left(x\right)=3

f=e^u, donc f est dérivable sur \mathbb{R} et f'=u'e^u. Ainsi, pour tout réel x :

f'\left(x\right)=3e^{3x+6}

C

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.

-

La droite d'équation y = x + 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0.

-