Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x-1}{x^2}
On remarque que, pour tout réel x non nul :
\dfrac{e^x-1}{x^2} = \dfrac{e^x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}
Par croissances comparées, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2} =+\infty
De plus :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2} =0
Ainsi, par somme, on obtient :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x -1}{x^2} =+\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x-e^x}{2x^2}
On remarque que, pour tout x \neq 0
\dfrac{x-e^x}{2x^2} = \dfrac{x}{2x^2}-\dfrac{e^x}{2x^2}
Par croissances comparées, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2} =+\infty
Et donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-e^x}{2x^2} =-\infty
De plus, comme pour tout réel x non nul, \dfrac{x}{x^2} = \dfrac{1}{x} , on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x^2} =0
Ainsi, par somme, on obtient finalement :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x -e^x}{2x^2} =-\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x^2+x-1\right)e^{-x}
On remarque que, pour tout réel x :
\left(x^2+x-1\right)e^{-x} = \dfrac{x^2}{e^{x}}+\dfrac{x}{e^{x}}-\dfrac{1}{e^{x}}
Par croissances comparées, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{e^{x}} = 0
Et :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^{x}} = 0
De plus, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{e^{x}} = 0
Ainsi, par somme :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{e^{x}}+\dfrac{x}{e^{x}}-\dfrac{1}{e^{x}}=0
Finalement :
\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x^2+x-1\right)e^{-x} = 0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} x^3-e^{x}
On remarque que, pour tout réel x :
x^3 - e^{x} = e^x\left( \dfrac{x^3}{e^x}-1\right)
Par croissances comparées, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{e^{x}} = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{e^{x}}-1 = -1
D'autre part, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty
Ainsi, par produit, on obtient :
\lim\limits_{x \to +\infty} x^3-e^x =-\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x-2x^2}{e^x}
On remarque que, pour tout réel x :
\dfrac{e^x-2x^2}{e^{x}}=1-\dfrac{2x^2}{e^x}
Par croissances comparées, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2}{e^{x}} = 0
Ainsi, par somme, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1-\dfrac{2x^2}{e^x}=1
Finalement :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x-2x^2}{e^{x}}=1
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} xe^{x+5}-3
On remarque que, pour tout réel x :
x e^{x+5} -3 = xe^xe^5-3
Par croissances comparées, on a :
\lim\limits_{x \to -\infty} x e ^x = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to -\infty} x e ^x e^5 = 0
Ainsi, par somme :
\lim\limits_{x \to -\infty} x e^{x+5} -3 = -3
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\left(x+2\right)e^{x+2}}{e^{2x}}
On remarque que, pour tout réel x :
\dfrac{\left(x+2\right)e^{x+2}}{e^{2x}} = \dfrac{\left(x+2\right)e^{x}e^2}{e^{x}e^x}= \dfrac{\left(x+2\right)e^2}{e^{x}} = \dfrac{e^2x}{e^x} + \dfrac{2e^2}{e^x}
Par croissances comparées, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x}= 0
Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^2x}{e^x}= 0
De plus :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2e^2}{e^x}= 0
Ainsi, par somme, on obtient :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^2x}{e^x} + \dfrac{2e^2}{e^x}= 0
Soit, finalement :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\left(x+2\right)e^{x+2}}{e^{2x}} = 0