Lever une indétermination en utilisant le taux d'accroissement Exercice

On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.

On pose, pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{2x}.

On remarque que f\left(0\right)=e^0 = 1.

Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 0 vaut T_0\left(x\right)=\dfrac{e^{2x} - 1}{x-0}

Or f est dérivable sur \mathbb{R}, donc on sait que \lim\limits_{x \to 0}T_0\left(x\right)=f'\left(0\right)

Pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{2x}.

Donc f'\left(x\right) = 2e^{2x}

On a donc f'\left(0\right) = 2e^0 = 2\times 1 = 2

On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.

On pose, pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{-x}.

On remarque que f\left(0\right)=e^0 = 1.

Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 0 vaut T_0\left(x\right)=\dfrac{e^{-x} - 1}{x-0}

Or f est dérivable sur \mathbb{R}, donc on sait que \lim\limits_{x \to 0}T_0\left(x\right)=f'\left(0\right)

Pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{-x}.

Donc f'\left(x\right) = -e^{-x}

On a donc f'\left(0\right) = -e^0 = - 1

On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.

On pose, pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{x}.

On remarque que f\left(2\right)=e^2.

Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 2 vaut T_2\left(x\right)=\dfrac{e^{x} - e^2}{x-2}

Or f est dérivable sur \mathbb{R}, donc on sait que \lim\limits_{x \to 2}T_2\left(x\right)=f'\left(2\right)

Pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{x}.

Donc f'\left(x\right) = e^{x}

On a donc f'\left(2\right) = e^2

On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.

On pose, pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{x^3}.

On remarque que f\left(0\right)=e^0=1.

Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 0 vaut T_0\left(x\right)=\dfrac{e^{x^3} - 1}{x-0}

Or f est dérivable sur \mathbb{R}, donc on sait que \lim\limits_{x \to 0}T_0\left(x\right)=f'\left(0\right)

Pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{x^3}.

Donc f'\left(x\right) = 3x^2e^{x^3}

On a donc f'\left(0\right) = 0\times e^0 = 0

On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.

On pose, pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{x+4}.

On remarque que f\left(-4\right)=e^{-4+4} =e^0 = 1.

Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 0 vaut T_{-4}\left(x\right)=\dfrac{e^{x+4} - 1}{x+4}

Or f est dérivable sur \mathbb{R}, donc on sait que \lim\limits_{x \to -4}T_{-4}\left(x\right)=f'\left(-4\right)

Pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{x+4}.

Donc f'\left(x\right) = e^{x+4}

On a donc f'\left(-4\right) = e^{-4+4} =e^0= 1

On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.

On pose, pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{2x}.

On remarque que f\left(3\right)=e^{2\times 3} =e^6.

Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 3 vaut T_{3}\left(x\right)=\dfrac{e^{2x} - e^6}{x-3}

Or f est dérivable sur \mathbb{R}, donc on sait que \lim\limits_{x \to 3}T_{3}\left(x\right)=f'\left(3\right)

Pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{2x}.

Donc f'\left(x\right) = 2e^{2x}

On a donc f'\left(3\right) = 2e^{2\times3} =2e^6

On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.

On pose, pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^x.

On remarque que f\left(1\right)=e^1 = e.

Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 1 vaut T_1\left(x\right)=\dfrac{e^x - e^1}{x-1}

Or f est dérivable sur \mathbb{R}, donc on sait que \lim\limits_{x \to 1}T_1\left(x\right)=f'\left(1\right)

Pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^x.

Donc f'\left(x\right) = e^x

On a donc f'\left(1\right) = e^1 = e