On considère les plans P et Q d'équations cartésiennes :
P:2x-y+3z-1=0
Q:-x+3y-2z+1=0
Quelle proposition démontre correctement que les plans P et Q sont sécants ?
P et Q sont sécants si et seulement si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
P:2x-y+3z-1=0 donc un vecteur normal de P est : \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.
Q:-x+3y-2z+1=0 donc un vecteur normal de Q est : \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.
Les coordonnées de \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les plans P et Q sont sécants.
Quelle est l'intersection des plans P et Q ?
Les plans P et Q sont sécants, leur intersection est donc une droite.
Pour la déterminer, on pose le système :
\begin{cases} 2x-y+3z-1=0 \cr \cr -x+3y-2z+1=0 \end{cases}
On multiplie la deuxième ligne par 2 :
\begin{cases} 2x-y+3z-1=0 \cr \cr -2x+6y-4z+2=0 \end{cases}
On additionne les deux lignes :
\begin{cases} 2x-y+3z-1=0 \cr \cr 5y-z+1=0 \end{cases}
On pose z=t
\begin{cases} 2x-y+3z-1=0 \cr \cr 5y-z+1=0 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 2x-y-1=-3t \cr \cr 5y+1=t \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 2x=-3t+1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{t}{5} \cr \cr y=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{t}{5} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 2x=\dfrac{4}{5}-\dfrac{14t}{5} \cr \cr y=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{t}{5} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x=\dfrac{2}{5}-\dfrac{7t}{5} \cr \cr y=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{t}{5} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
L'intersection des plans P et Q est la droite \Delta de représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=\dfrac{2}{5}-\dfrac{7t}{5} \cr \cr y=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{t}{5} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}