On considère les plans P et Q d'équations cartésiennes :
P:-4x+4y-z+2=0
Q:2x+y+2z-1=0
Quelle proposition démontre correctement que les plans P et Q sont sécants ?
P et Q sont sécants si et seulement si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
P:-4x+4y-z+2=0 donc un vecteur normal de P est : \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 4 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
Q:2x+y+2z-1=0 donc un vecteur normal de Q est : \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.
Les coordonnées de \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les plans P et Q sont sécants.
Quelle est l'intersection des plans P et Q ?
Les plans P et Q sont sécants, leur intersection est donc une droite.
Pour la déterminer, on pose le système :
\begin{cases} -4x+4y-z+2=0 \cr \cr 2x+y+2z-1=0 \end{cases}
On multiplie la deuxième ligne par 2 :
\begin{cases} -4x+4y-z+2=0 \cr \cr 4x+2y+4z-2=0 \end{cases}
On additionne les deux lignes :
\begin{cases} -4x+4y-z+2=0 \cr \cr 6y+3z=0 \end{cases}
On pose z=t
\begin{cases} -4x+4y-z+2=0 \cr \cr 6y+3z=0 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} -4x+4y+2=t \cr \cr 6y=-3t \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 4x=-t+4y+2 \cr \cr y=-\dfrac{t}{2} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 4x=-t-2t+2 \cr \cr y=-\dfrac{t}{2} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x=-\dfrac{3t}{4}+\dfrac{1}{2} \cr \cr y=-\dfrac{t}{2} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
L'intersection des plans P et Q est la droite \Delta de représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=-\dfrac{3}{4}t+\dfrac{1}{2} \cr \cr y=-\dfrac{t}{2} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}