On considère les plans P et Q d'équations cartésiennes :
P:3x-3y+4z-1=0
Q:-6x+5y-3z+1=0
Quelle proposition démontre correctement que les plans P et Q sont sécants ?
P et Q sont sécants si et seulement si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
P:3x-3y+4z-1=0 donc un vecteur normal de P est : \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}.
Q:-6x+5y-3z+1=0 donc un vecteur normal de Q est : \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr 5 \cr\cr -3 \end{pmatrix}.
Les coordonnées de \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les plans P et Q sont sécants.
Quelle est l'intersection des plans P et Q ?
Les plans P et Q sont sécants, leur intersection est donc une droite.
Pour la déterminer, on pose le système :
\begin{cases} 3x-3y+4z-1=0 \cr \cr -6x+5y-3z+1=0 \end{cases}
On multiplie la première ligne par 2 :
\begin{cases} 6x-6y+8z-2=0 \cr \cr -6x+5y-3z+1=0 \end{cases}
On additionne les deux lignes :
\begin{cases} 6x-6y+8z-2=0 \cr \cr -y+5z-1=0 \end{cases}
On pose z=t
\begin{cases} 6x-6y+8z-2=0 \cr \cr -y+5z-1=0 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 6x-6y-2=-8t \cr \cr -y-1=-5t \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 6x=-8t+6y+2 \cr \cr y=5t-1 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 6x=-8t+30t-6+2 \cr \cr y=5t-1 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x=\dfrac{11t}{3}-\dfrac{2}{3} \cr \cr y=5t-1 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
L'intersection des plans P et Q est la droite \Delta de représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=\dfrac{11t}{3}-\dfrac{2}{3} \cr \cr y=5t-1 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}