On considère les plans P et Q d'équations cartésiennes :
P:3x-2y+z-2=0
Q:x+2y-2z+4=0
Quelle proposition démontre correctement que les plans P et Q sont sécants ?
P et Q sont sécants si et seulement si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
P:3x-2y+z-2=0 donc un vecteur normal de P est : \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Q:x+2y-2z+4=0 donc un vecteur normal de Q est : \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.
Les coordonnées de \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les plans P et Q sont sécants.
Quelle est l'intersection des plans P et Q ?
Les plans P et Q sont sécants, leur intersection est donc une droite.
Pour la déterminer, on pose le système :
\begin{cases} 3x-2y+z-2=0 \cr \cr x+2y-2z+4=0 \end{cases}
On additionne les deux lignes :
\begin{cases} 3x-2y+z-2=0 \cr \cr 4x-z+2=0 \end{cases}
On pose z=t
\begin{cases} 3x-2y+z-2=0 \cr \cr 4x-z+2=0 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 3x-2y-2=-t \cr \cr 4x+2=t \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 2y=3x -2 + t \cr \cr x=\dfrac{t}{4} - \dfrac{1}{2}\cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 2y=\dfrac{7}{4}t -\dfrac{7}{2} \cr \cr x=\dfrac{t}{4} - \dfrac{1}{2}\cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} y=\dfrac{7}{8}t -\dfrac{7}{4} \cr \cr x=\dfrac{t}{4} - \dfrac{1}{2}\cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
L'intersection des plans P et Q est la droite \Delta de représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} y=\dfrac{7}{8}t -\dfrac{7}{4} \cr \cr x=\dfrac{t}{4} - \dfrac{1}{2}\cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}