On considère les plans P et Q d'équations cartésiennes :
P:x+5y-4z+6=0
Q:-x-3y+6z-4=0
Quelle proposition démontre correctement que les plans P et Q sont sécants ?
P et Q sont sécants si et seulement si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
P:x+5y-4z+6=0 donc un vecteur normal de P est : \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 5 \cr\cr -4 \end{pmatrix}.
Q:-x-3y+6z-4=0 donc un vecteur normal de Q est : \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr -3 \cr\cr 6 \end{pmatrix}.
Les coordonnées de \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les plans P et Q sont sécants.
Quelle est l'intersection des plans P et Q ?
Les plans P et Q sont sécants, leur intersection est donc une droite.
Pour la déterminer, on pose le système :
\begin{cases} x+5y-4z+6=0 \cr \cr -x-3y+6z-4=0 \end{cases}
On additionne les deux lignes :
\begin{cases} x+5y-4z+6=0 \cr \cr 2y+2z+2=0 \end{cases}
On pose z=t
\begin{cases} x+5y-4z+6=0 \cr \cr 2y+2z+2=0 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x+5y+6=4t \cr \cr 2y+2=-2t \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x=4t-5y-6 \cr \cr y=-t-1 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x=4t+5t+5-6 \cr \cr y=-t-1 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x=9t-1 \cr \cr y=-t-1 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
L'intersection des plans P et Q est la droite \Delta de représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=9t-1 \cr \cr y=-t-1 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}