On a A\left(7;4;3\right), B\left(8;5;3\right) et C\left(10;1;7\right).
Quelle proposition démontre correctement que A, B et C forment un plan ?
Les points A, B et C forment un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A\end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 8-7\cr\cr 5-4 \cr\cr 3-3 \end{pmatrix}, donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A\end{pmatrix}, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 10-7 \cr\cr 1-4 \cr\cr 7-3 \end{pmatrix}, donc \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}
Les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
A, B et C forment bien un plan.
Quelle proposition démontre que \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} est normal au plan ABC ?
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0, c'est-à-dire si et seulement si :
x_\overrightarrow{u}x_\overrightarrow{v}+y_\overrightarrow{u}y_\overrightarrow{v}+z_\overrightarrow{u}z_\overrightarrow{v}=0
Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}. D'où :
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}= \left(-2\right)\times1+2\times1+3\times0 = - 2 + 2 = 0
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}= \left(-2\right)\times3+2\times\left(-3\right)+3\times4 = -6 - 6 + 12 = 0
\overrightarrow{n} est bien orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan ABC.
Dans quelle proposition en déduit-on une équation cartésienne du plan ABC, noté P ?
P a pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} donc P a une équation cartésienne de la forme :
-2x+2y+3z+d=0
De plus, A\left(7;4;3\right)\in P donc ses coordonnées vérifient l'équation de P.
On obtient :
\left(-2\right)\times7+2\times4+3\times3 + d = 0
-14 + 8 + 9 + d = 0
d=-3
On a donc P: -2x+2y+3z-3=0