Quelle est la solution de chacune des équations du premier degré suivantes ?
\left(x+3\right)^2-\left(x+2\right)^2=0
On reconnaît deux fois l'identité remarquable :
\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2
On a donc :
\left(x+3\right)^2-\left(x+2\right)^2\\=x^2+2\times x\times3+3^2-\left(x^2+2\times x\times2+2^2\right)\\=x^2+6x+9-\left(x^2+4x+4\right)\\=x^2+6x+9-x^2-4x-4\\=2x+5
L'équation équivaut à :
2x+5=0\\2x=-5\\x=-\dfrac{5}{2}
x=-\dfrac{5}{2}
\left(2x+4\right)^2=4x^2+8x
On reconnaît l'identité remarquable :
\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2
On a donc :
\left(2x+4\right)^2=\left(2x\right)^2+2\times2x\times4=4^2\\=4x^2+16x+16
Ainsi :
4x^2=16x+16=4x^2+8x\\16x+16=8x\\16x-8x+16=0\\8x+16=0
On a donc :
8x+16=0\\8x=-16\\x=-\dfrac{8}{16}\\x=-2
x=-2
\left(x-5\right)^2-\left(x+3\right)^2=0
On reconnaît les identités remarquables suivantes :
- \left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2
- \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2
On a donc :
\left(x-5\right)^2-\left(x+3\right)^2=x^2-2x\times5+5^2-\left(x^2+2x\times3+3^2\right)\\=x^2-10x+25-\left(x^2+6x+9\right)\\=x^2-10x+25-x^2-6x-9\\=-16x+16
On a :
-16x+16=0\\-16x=-16\\x=\dfrac{-16}{-16}\\x=1
x=1
\left(2x+2\right)^2=\left(2x-1\right)^2
On reconnaît les identités remarquables :
- \left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2
- \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2
On a donc :
- \left(2x+2\right)^2=\left(2x\right)^2+2x\times2+2^2=4x^2+8x+4
- \left(2x-1\right)^2=\left(2x\right)^2-2\times2x\times1+1^2=4x^2-4x+1
Ainsi :
\left(2x+2\right)^2=\left(2x-1\right)^2\\4x^2+8x+4=4x^2-4x+1\\8x+4x=1-4\\12x=-3
On a donc :
12x=-3\\x=-\dfrac{3}{12}\\x=-\dfrac{1}{4}
x=-\dfrac{1}{4}
\left(x+3\right)^2-\left(x-2\right)^2=5
On reconnaît les identités remarquables suivantes :
- \left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2
- \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2
On a donc :
\left(x+3\right)^2-\left(x-2\right)^2=x^2+2x\times3+3^2-\left(x^2-2x\times2+2^2\right)\\=x^2+6x+9-\left(x^2-4x+4\right)\\=x^2+6x+9-x^2+4x-4\\=10x+5
Ainsi :
10x+5=5\\10x=0\\x=0
x=0
\left(2x+3\right)^2-\left(2x+4\right)^2=2x+3
On reconnaît deux fois l'identité remarquable :
\left(a-b\right)^2=a^2+2ab+b^2
On a donc :
\left(2x+3\right)^2-\left(2x+4\right)^2=4x^2+2\times2x\times4+4^2-\left(4x^2+2\times2x\times4+4^2\right)\\=4x^2+12x+9-\left(4x^2+16x+16\right)=4x^2+12x+9-4x^2-16x-16\\=4x-7
On a donc :
\left(2x+3\right)^2-\left(2x+4\right)^2=2x-3\\-4x-2x=3+7\\-6x=10
Ainsi :
-6x=10\\x=\dfrac{10}{-6}\\x=-\dfrac{5}{3}\\
x=-\dfrac{5}{3}\\