Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R}-\left\{ -1; -3 \right\} par :
f\left(x\right) = \dfrac{x+2}{x+1} et g\left(x\right) = \dfrac{3x}{x+3}.
On appelle C_f la courbe représentative de la fonction f et C_g la courbe représentative de la fonction g
Que peut-on dire de la position relative des courbes C_f et C_g sur \mathbb{R} ?
Pour étudier la position relative de C_f et C_g, on étudie le signe de f\left(x\right)-g\left(x\right).
Calcul de f\left(x\right)-g\left(x\right)
\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -1 ; -3 \right\}, f\left(x\right) - g\left(x\right) = \dfrac{x+2}{x+1}-\dfrac{3x}{x+3} = \dfrac{\left(x+2\right)\left(x+3}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}-\dfrac{3x\left(x+1\right)}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)} = \dfrac{x^2+2x+3x+6 - 3x^2-3x}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)} =\dfrac{-2x^2+2x+6}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}
Etude du signe de f\left(x\right)-g\left(x\right)
On étudie séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur :
Signe du trinôme :
Le numérateur étant un polynôme du second degré, on étudie son signe à l'aide de son discriminant :
\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4\times \left(-2\right) \times 6 = 52
\Delta \gt 0 donc le polynôme est du signe de a (c'est-à-dire positif) sauf entre ses racines.
On détermine les racines :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2-\sqrt{52}}{4} =\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2+\sqrt{52}}{4} = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}
Signe de x+1 :
x+1 \gt 0
\Leftrightarrow x \gt -1
Signe de x+3 :
x+3 \gt 0
\Leftrightarrow x \gt -3
On peut ainsi en déduire le tableau de signes du quotient :
f\left(x\right) - g\left(x\right) \gt 0 sur \left]-3;-\dfrac{1-\sqrt{13}}{2} \right[ \cup \left]-1 ;\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) \lt 0 sur \left] -\infty;-3\right[ \cup \left] \dfrac{1+\sqrt{13}}{2};+\infty\right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0 pour les points d'abscisses \dfrac{1-\sqrt{13}}{2} et \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}.
- Cf est au-dessus de Cg sur \left]-3;-\dfrac{1-\sqrt{13}}{2} \right[ \cup \left]-1 ;\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right[ .
- Cf est en dessous de Cg sur \left] -\infty;-3\right[ \cup \left] \dfrac{1+\sqrt{13}}{2};+\infty\right[ .
- Cf et Cg se coupent aux points d'abscisses \dfrac{1-\sqrt{13}}{2} et \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}.
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R}^* par :
f\left(x\right) = x^2 et g\left(x\right) = \dfrac{1}{x}
On appelle Cf la courbe de la fonction f et Cg la courbe de la fonction g
Quelle est la position relative des courbes Cf et Cg sur \mathbb{R}^* ?
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = x^2+2x+1 et g\left(x\right) = 2x^2 +6x+6
On appelle Cf la courbe de la fonction f et Cg la courbe de la fonction g
Quelle est la position relative des courbes Cf et Cg sur \mathbb{R} ?
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R}-\left\{ -1 ; 0 \right\} par :
f\left(x\right) = \dfrac{1}{x+1} et g\left(x\right) = \dfrac{1}{x}
On appelle Cf la courbe de la fonction f et Cg la courbe de la fonction g.
Quelle est la position relative des courbes Cf et Cg sur \mathbb{R}-\left\{ -1 ; 0 \right\} ?
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{1}{2} ; 1 \right\} par :
f\left(x\right) = \dfrac{x+1}{2x-1} et g\left(x\right) = \dfrac{2x}{2x-2}
On appelle Cf la courbe de la fonction f et Cg la courbe de la fonction g.
Quelle est la position relative des courbes Cf et Cg sur \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{1}{2} ; 1 \right\} ?
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R}-\left\{-2 ; -1 \right\} par :
f\left(x\right) = \dfrac{3x-4}{x+1} et g\left(x\right) = \dfrac{2-x}{x+2}
On appelle Cf la courbe de la fonction f et Cg la courbe de la fonction g.
Quelle est la position relative des courbes Cf et Cg sur \mathbb{R}-\left\{-2 ; -1 \right\} ?