Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=4.
Quelle proposition correspond à une densité correcte de X ?
Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda alors une densité de X est f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}
Ici, X suit une loi exponentielle de paramètre
Ainsi on a :
\forall x\in\left[ 0;+\infty \right[,f\left(x\right)=4e^{-4x}
Une densité de X est f avec \forall x\in\left[ 0;+\infty \right[,f\left(x\right)=4e^{-4x}.
Quelle est la valeur de p\left( X\geqslant3 \right) ?
p\left( X\geqslant3 \right)=1-p\left( X\leqslant3 \right)
Or, on a :
p\left( X\leqslant3 \right)=\int_{0}^{3} f\left(x\right) \ \mathrm dx
p\left( X\leqslant3 \right)=\int_{0}^{3} 4e^{-4x} \ \mathrm dx
Une primitive de x\longmapsto4e^{-4x} sur \left[ 0;+\infty \right[ est x\longmapsto -e^{-4x}
Ainsi, on obtient :
p\left( X\leqslant3 \right)= \left[ -e^{-4x}\right]_{0}^{3}
p\left( X\leqslant3 \right)=\left( -e^{-4\times3} \right)-\left( -e^{-4\times0} \right)
p\left( X\leqslant3 \right)=-e^{-12} +e^{0}
p\left( X\leqslant3 \right)=1-e^{-12}
p\left( X \geqslant3\right) =1-\left(1-e^{-12}\right)
p\left( X \geqslant3\right) =e^{-12}
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
On sait que, si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda, alors E\left(X\right)=\dfrac{1}{\lambda}
Ici, X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=4
On a donc :
E\left(X\right)=\dfrac{1}{4}