Exprimer une fonction sans valeur absolue Exercice

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Dernière modification : 27/12/2018 - Conforme au programme 2018-2019

Comment expliciter la fonction suivante sans valeur absolue ?

f\left(x\right)=x|x|

f\left(x\right)=\begin{cases}- x^2 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant 0 \cr \cr x^2 \ \ \text{si} \ x \leqslant 0\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} x^2 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant 0 \cr \cr -x^2 \ \ \text{si} \ x \leqslant 0\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} \left(-x\right)^2 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant 0 \cr \cr x^2 \ \ \text{si} \ x \leqslant 0\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} x^2 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant 0 \cr \cr x^2 \ \ \text{si} \ x \leqslant 0\end{cases}

D'après le cours, on sait que |u\left(x\right)|=\begin{cases}u\left(x\right) \ \ \ \ \ \text{si} \ u\left(x\right) \geqslant 0 \cr \cr -u\left(x\right) \ \ \text{si} \ u\left(x\right)\leqslant 0\end{cases}

Ainsi, ici on obtient :

|x|=\begin{cases} x \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant 0 \cr \cr -x \ \ \text{si} \ x \leqslant 0\end{cases}.

f\left(x\right)=x|x|=\begin{cases} x\times x \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant 0 \cr \cr x\times\left(-x\right) \ \ \text{si} \ x \leqslant 0\end{cases}

Ainsi, f\left(x\right)=\begin{cases} x^2 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant 0 \cr \cr -x^2 \ \ \text{si} \ x \leqslant 0\end{cases}

Comment expliciter la fonction suivante sans valeur absolue ?

f\left(x\right)=\left(2x-1\right)|3-x|

f\left(x\right)=\left(2x-1\right)\left| 3-x \right|=\begin{cases} -2x^2+7x-3 \ \ \ \text{si} \ x\geqslant3 \cr \cr 2x^2-7x+3 \ \ \ \text{si} \ x\geqslant3 \end{cases}

f\left(x\right)=\left(2x-1\right)|3-x|=\begin{cases} -2x^2+7x-3 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant 3 \cr \cr 2x^2-7x+3 \ \ \text{si} \ x \geqslant 3\end{cases}

f\left(x\right)=\left(2x-1\right)\left| 3-x \right|=\begin{cases} -2x^2+7x-3 \ \ \ \text{si} \ x\geqslant0 \cr \cr 2x^2+5x+3 \ \ \ \text{si} \ x\geqslant0 \end{cases}

f\left(x\right)=\left(2x-1\right)\left| 3-x \right|=\begin{cases} -2x^2+5x-3 \ \ \ \text{si} \ x\geqslant3 \cr \cr -2x^2+7x-3 \ \ \ \text{si} \ x\geqslant3 \end{cases}

Ainsi, ici on obtient :

|3-x|=\begin{cases} 3-x \ \ \ \ \ \text{si} \ 3-x \geqslant 0 \cr \cr -\left(3-x\right) \ \ \text{si} \ 3-x \leqslant 0\end{cases}.

|3-x|=\begin{cases} 3-x \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant 3 \cr \cr -3+x \ \ \text{si} \ x \geqslant 3\end{cases}

f\left(x\right)=\left(2x-1\right)|3-x|=\begin{cases} \left(2x-1\right)\left(3-x\right) \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant 3 \cr \cr \left(2x-1\right)\left(-3+x\right) \ \ \text{si} \ x \geqslant 3\end{cases}

f\left(x\right)=\left(2x-1\right)|3-x|=\begin{cases} 6x-2x^2-3+x \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant 3 \cr \cr -6x+2x^2+3-x \ \ \text{si} \ x \geqslant 3\end{cases}

Ainsi, f\left(x\right)=\left(2x-1\right)|3-x|=\begin{cases} -2x^2+7x-3 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant 3 \cr \cr 2x^2-7x+3 \ \ \text{si} \ x \geqslant 3\end{cases}

Comment expliciter la fonction suivante sans valeur absolue ?

f\left(x\right)=|4x+1|

f\left(x\right)=|4x+1|=\begin{cases} 4x+1 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant -\dfrac{1}{4} \cr \cr -4x-1 \ \ \text{si} \ x \geqslant -\dfrac{1}{4}\end{cases}

f\left(x\right)=|4x+1|=\begin{cases} 4x+1 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant 0 \cr \cr -4x+1 \ \ \text{si} \ x \leqslant 0\end{cases}

f\left(x\right)=|4x+1|=\begin{cases} 4x+1 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant 0 \cr \cr -4x-1 \ \ \text{si} \ x \geqslant 0\end{cases}

f\left(x\right)=|4x+1|=\begin{cases} 4x+1 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant -\dfrac{1}{4} \cr \cr -4x-1 \ \ \text{si} \ x \leqslant -\dfrac{1}{4}\end{cases}

Ainsi, ici on obtient :

f\left(x\right)=|4x+1|=\begin{cases} 4x+1 \ \ \ \ \ \text{si} \ 4x+1 \geqslant 0 \cr \cr -\left(4x+1\right) \ \ \text{si} \ 4x+1 \leqslant 0\end{cases}.

f\left(x\right)=|4x+1|=\begin{cases} 4x+1 \ \ \ \ \ \text{si} \ 4x \geqslant -1 \cr \cr -4x-1 \ \ \text{si} \ 4x \leqslant -1\end{cases}

Ainsi, f\left(x\right)=|4x+1|=\begin{cases} 4x+1 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant -\dfrac{1}{4} \cr \cr -4x-1 \ \ \text{si} \ x \leqslant -\dfrac{1}{4}\end{cases}

Comment expliciter la fonction suivante sans valeur absolue ?

f\left(x\right)=|4x+6|

f\left(x\right)=\begin{cases} 4x+6 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant \dfrac{2}{3} \cr \cr -4x-6 \ \ \text{si} \ x \lt \dfrac{2}{3}\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} 4x+6 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant -\dfrac{3}{2} \cr \cr -4x-6 \ \ \text{si} \ x \lt -\dfrac{3}{2}\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} 4x+6 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant \dfrac{2}{3} \cr \cr -4x-6 \ \ \text{si} \ x \gt \dfrac{2}{3}\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} 4x+6 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant -0 \cr \cr -4x-6 \ \ \text{si} \ x \lt 0\end{cases}

Comment expliciter la fonction suivante sans valeur absolue ?

f\left(x\right)=|-3-7x|

f\left(x\right)=\begin{cases} -3-7x \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant \dfrac{7}{3} \cr \cr 3+7x \ \ \text{si} \ x \lt \dfrac{7}{3}\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} -3-7x \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant -\dfrac{3}{7} \cr \cr 3+7x \ \ \text{si} \ x \gt -\dfrac{3}{7}\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} -3-7x \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant -\dfrac{7}{3} \cr \cr 3+7x \ \ \text{si} \ x \lt -\dfrac{7}{3}\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} -3-7x \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant -\dfrac{7}{3} \cr \cr 3+7x \ \ \text{si} \ x \gt -\dfrac{7}{3}\end{cases}

Comment expliciter la fonction suivante sans valeur absolue ?

f\left(x\right)=x|4+9x|

f\left(x\right)=\begin{cases} 4x+9x^2 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant \dfrac{4}{9} \cr \cr -4x-9x^2 \ \ \text{si} \ x \gt \dfrac{4}{9}\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} 4+9x \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant -\dfrac{4}{9} \cr \cr -4-9x \ \ \text{si} \ x \lt -\dfrac{4}{9}\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} 4x+9x^2 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant -\dfrac{4}{9} \cr \cr -4x-9x^2 \ \ \text{si} \ x \lt -\dfrac{4}{9}\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} 4x+9x^2 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant -\dfrac{4}{9} \cr \cr -4x-9x^2 \ \ \text{si} \ x \gt -\dfrac{4}{9}\end{cases}

Comment expliciter la fonction suivante sans valeur absolue ?

f\left(x\right)=|-3x+6|

f\left(x\right)=\begin{cases} -3x+6 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant 2 \cr \cr 3x-6 \ \ \text{si} \ x \lt 2\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} 3x-6 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant 2 \cr \cr -3x+6 \ \ \text{si} \ x \lt 2\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} 3x+6 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant -3 \cr \cr -3x-6 \ \ \text{si} \ x \lt -3\end{cases}

f\left(x\right)=\begin{cases} 3x+6 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant 0 \cr \cr -3x-6 \ \ \text{si} \ x \lt 0\end{cases}