Redémontrer la formule de non-vieillissement de la loi exponentielle Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \lambda=1.

Quelle est la valeur de p\left( X\gt2\right) ?

p\left( X\gt2\right)=e^{-2}

p\left( X\gt2\right)=e^{-1}

p\left( X\gt2\right)=e^{2}

p\left( X\gt2\right)=e

p\left( X\gt2\right)=1-p\left( X\leqslant2\right)

On sait qu'une densité de X est f avec \forall x\in\left[0;+\infty \right[,f\left(x\right)=e^{-x}

Ainsi, on a :

p\left( X\leqslant2\right)=\int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{0}^{2} e^{-x} \ \mathrm dx

De plus, une primitive de x\longmapsto e^{-x} est x\longmapsto-e^{- x}

Ainsi, on obtient :

p\left( X\leqslant2\right)=\left[ -e^{-x} \right]_{0}^{2}=\left( -e^{-2} \right)-\left( -e^{-0} \right)

p\left( X\leqslant2\right)=\left( -e^{-2} \right)-\left( -e^{0} \right)

p\left( X\leqslant2\right)=1 -e^{-2}

Finalement, on a :

p\left( X\gt2\right)=1-p\left( X\leqslant2\right)=1-\left(1 -e^{-2} \right)=e^{-2}

p\left( X\gt2\right)=e^{-2}

Quelle est la valeur de p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right) ?

p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=e^{-2}

p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=e^{2}

p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=e

p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=e^{-1}

D'après la formule des probabilités conditionnelles, on sait que :

p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=\dfrac{p\left( \left[ X\gt1 \right] \cap \left[ X\gt3 \right] \right)}{p\left( X\gt1 \right)}

Or p\left( \left[ X\gt1 \right] \cap \left[ X\gt3 \right] \right)=p\left( X\gt3 \right)

Ainsi, on obtient :

p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=\dfrac{p\left( X\gt3 \right)}{p\left( X\gt1 \right)}

Or, par le même calcul qu'à la question précédente, on a :

p\left( X\gt3\right)=1-p\left( X\leqslant3\right)=1-\left( \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{3} \right)=1-\left(\left( -e^{-3} \right)-\left( -e^{-0} \right)\right)=1-\left( -e^{-3} \right)+\left( -e^{0} \right)=e^{-3}

p\left( X\gt1\right)=1-p\left( X\leqslant1\right)=1-\left( \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{1} \right)=1-\left(\left( -e^{-1} \right)-\left( -e^{-0} \right)\right)=1-\left( -e^{-1} \right)+\left( -e^{0} \right)=e^{-1}

Soit :

p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=\dfrac{e^{-3}}{e^{-1}}

Et, en reconnaissant une forme \dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b} :

p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=e^{-3-\left(-1\right)}=e^{-3+1}=e^{-2}

p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=e^{-2}

Quelle proposition correspond au résultat de la question 1 et à une propriété de la loi exponentielle ?

p\left( X\gt2 \right)=p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=e^{-2}

On retrouve la propriété de la loi exponentielle qui est dite "sans vieillissement".

p\left( X\gt2 \right)=p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=e^{-2}

On retrouve la propriété de la loi exponentielle qui est dite "avec vieillissement".

p\left( X\gt2 \right)=p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=e^{-1}

On retrouve la propriété de la loi exponentielle qui est dite "sans vieillissement".

p\left( X\gt2 \right)=p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=e^{-1}

On retrouve la propriété de la loi exponentielle qui est dite "avec vieillissement".

D'après les questions 1 et 2, on obtient :

p\left( X\gt2 \right)=p_{X\gt1}\left( X\gt3 \right)=e^{-2}

On retrouve la propriété de la loi exponentielle qui est dite "sans vieillissement". En effet, pour tous réels positifs t et s, on a :

p_{X\gt s}\left( X\gt t+s \right)=p\left( X\gt t \right)