Cercles et médiatrices Problème

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Dernière modification : 24/10/2018 - Conforme au programme 2018-2019

Soient C et C' deux cercles concentriques de centre O et de rayons respectifs r et r' tels que r' \lt r. M est un point de C' et la tangente en M au cercle C' coupe le cercle C en P et Q.

Démontrer que \left(OM\right) est la médiatrice de \left[PQ\right].

Dans le triangle OPQ isocèle en O, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de O et la médiatrice de la base \left[PQ\right] sont confondues, donc la droite \left(OM\right) est la médiatrice de \left[PQ\right].

Dans le triangle OPQ, M est le milieu de \left[PQ\right], donc la droite \left(OM\right) est la médiatrice de \left[PQ\right].

M est le milieu de [PQ] donc la droite \left(OM\right) est la médiatrice de \left[PQ\right].

Dans le triangle OMQ rectangle en M, on a MQ² = MO²+OQ² donc le triangle OMQ est rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore en M et donc la droite \left(OM\right) est la médiatrice de \left[PQ\right].

Soient C_{1} et C_{2} deux cercles concentriques de centre O et de rayons respectifs r_{1} et r_{2} tels que r_{2}\lt r_{1}. I est un point de C_{2} et la tangente en I au cercle C_{2} coupe le cercle C_{1} en A et B.

Démontrer que \left(OI\right) est la médiatrice de \left[AB\right].

Dans le triangle OAB isocèle en O, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de O et la médiatrice de la base \left[AB\right] sont confondues, donc la droite \left(OI\right) est donc la médiatrice de \left[AB\right].

Dans le triangle OAB, I est le milieu de \left[AB\right], donc la droite \left(OI\right) est la médiatrice de \left[AB\right].

I est le milieu de [AB] donc la droite \left(OI\right) est la médiatrice de \left[AB\right].

Dans le triangle OIA rectangle en I, on a OA² = OI²+IA² donc le triangle OIA est rectangle en I d'après la réciproque du théorème de Pythagore et donc la droite \left(OI\right) est la médiatrice de \left[AB\right].

Soient C et C_{1} deux cercles concentriques de centre O et de rayons respectifs r et r_{1} tels que r_{1}\lt r. J est un point de C_{1} et la tangente en J au cercle C_{1} coupe le cercle C en R et S.

Démontrer que \left(OJ\right) est la médiatrice de \left[RS\right].

Dans le triangle ORS isocèle en O, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de O et la médiatrice de la base \left[RS\right] sont confondues, donc la droite \left(OJ\right) est donc la médiatrice de \left[RS\right].

Dans le triangle ORS, J est le milieu de \left[RS\right], donc la droite \left(OJ\right) est la médiatrice de \left[RS\right].

J est le milieu de [RS] donc la droite \left(OJ\right) est la médiatrice de \left[RS\right].

Dans le triangle OJR rectangle en J, on a OR² = OJ²+JR² donc le triangle OJR est rectangle en J d'après la réciproque du théorème de Pythagore et donc la droite \left(OJ\right) est la médiatrice de \left[RS\right].