Soient C et C' deux cercles concentriques de centre O et de rayons respectifs r et r' tels que r' \lt r. M est un point de C' et la tangente en M au cercle C' coupe le cercle C en P et Q.
Démontrer que \left(OM\right) est la médiatrice de \left[PQ\right].
Puisque P et Q appartiennent à la tangente au cercle C' (de centre O) passant par M, on a \left(OM\right)\perp\left(PQ\right).
De plus, P et Q appartiennent au cercle C (de centre O et de rayon r), on a donc les égalités OP=OQ=r
De ces deux relations, on peut donc affirmer que le triangle OPQ est isocèle en O et que \left(OM\right) est la hauteur issue de O.
Or dans le triangle OPQ isocèle en O, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de O et la médiatrice de la base \left[PQ\right] sont confondues.
La droite \left(OM\right) est donc la médiatrice de \left[PQ\right].
Soient C_{1} et C_{2} deux cercles concentriques de centre O et de rayons respectifs r_{1} et r_{2} tels que r_{2}\lt r_{1}. I est un point de C_{2} et la tangente en I au cercle C_{2} coupe le cercle C_{1} en A et B.
Démontrer que \left(OI\right) est la médiatrice de \left[AB\right].
Puisque A et B appartiennent à la tangente au cercle C_{2} (de centre O) passant par I, on a \left(OI\right)\perp\left(AB\right).
De plus, A et B appartiennent au cercle C_{1} (de centre O et de rayon r_1 ), on a donc les égalités OA=OB=r_{1}
De ces deux relations, on peut donc affirmer que le triangle OAB est isocèle en O et que \left(OI\right) est la hauteur issue de O.
Or dans le triangle OAB isocèle en O, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de O et la médiatrice de la base \left[AB\right] sont confondues.
La droite \left(OI\right) est donc la médiatrice de \left[AB\right].
Soient C et C_{1} deux cercles concentriques de centre O et de rayons respectifs r et r_{1} tels que r_{1}\lt r. J est un point de C_{1} et la tangente en J au cercle C_{1} coupe le cercle C en R et S.
Démontrer que \left(OJ\right) est la médiatrice de \left[RS\right].
Puisque R et S appartiennent à la tangente au cercle C_{1} (de centre O) passant par J, on a \left(OJ\right)\perp\left(RS\right).
De plus, R et S appartiennent au cercle C (de centre O et de rayon r ), on a donc les égalités OR=OS=r
De ces deux relations, on peut donc affirmer que le triangle ORS est isocèle en O et que \left(OJ\right) est la hauteur issue de O.
Or dans le triangle ORS isocèle en O, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de O et la médiatrice de la base \left[RS\right] sont confondues.
La droite \left(OJ\right) est donc la médiatrice de \left[RS\right].