On considère un parallélogramme ABCD et O son centre. Soient A' et C' les images respectives des points A et C par la symétrie d'axe \left(BD\right).
Quelle est la nature du quadrilatère AA'CC' ?
O est le milieu de \left[AC\right] donc son image, c'est-à-dire O, est milieu de \left[A'C'\right]. Les diagonales du quadrilatère AA'CC' ont même milieu, c'est donc un parallélogramme.
Or les symétries conservent les distances, donc A'C'=AC.
Ainsi AA'CC' est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur, c'est donc un rectangle.
Soit C un cercle de centre O et de diamètre \left[AB\right]. La médiatrice D du segment \left[AB\right] coupe le cercle en deux points E et F.
Quelle est la nature du quadrilatère AEBF ?
Par définition de la médiatrice, D coupe perpendiculairement le segment \left[AB\right] en son milieu : il passe donc par le point O ; et comme les points E et F sont sur la droite D, on a aussi : \left(AB\right)\perp\left(EF\right). Par ailleurs, E et F appartiennent au cercle C donc \left[EF\right] est un diamètre, O son milieu et puisque [AB] est également diamètre de ce cercle, on peut dire que AB=EF.
D'une part, les diagonales du quadrilatère AEBF sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu O, c'est donc un losange.
D'autre part, les diagonales du quadrilatère AEBF se coupent en leur milieu O et ont la même longueur, c'est donc un rectangle.
Ainsi, AEBF est losange et un rectangle, c'est donc un carré.
On considère un triangle ABC.
Soit D le point d'intersection de la bissectrice de \overset{\frown}{B} et de sa perpendiculaire issue de A, et E le point d'intersection de la perpendiculaire en B à \left(BD\right) et de la parallèle en A à \left(BD\right).
Quelle est la nature du quadrilatère ADBE ?
Par construction, on a \left(AD\right)\perp\left(BD\right), \left(BD\right)\perp\left(BE\right) et \left(BE\right)\perp\left(AE\right).
Ainsi, ADBF est un quadrilatère possédant trois angles droits, c'est donc un rectangle.
Soit C un cercle de centre O, de diamètre \left[AB\right] et de rayon 3 cm. On construit ensuite le le cercle C' de même centre et de rayon 5 cm. Soit \left[EF\right] un diamètre de ce cercle tel que \left(AB\right)\perp\left(EF\right).
Quelle est la nature du quadrilatère AEBF ?
Comme \left[AB\right] est un diamètre du cercle C, son centre O est le milieu de \left[AB\right] . De la même façon, comme \left[EF\right] est un diamètre du cercle C', son centre O est le milieu de [EF]. Les diagonales \left[AB\right] et \left[EF\right] ont donc le même milieu O.
Par ailleurs, on sait que \left[AB\right]\perp\left[EF\right], Les diagonales \left[AB\right] et \left[EF\right] sont donc perpendiculaires.
Ainsi, AEBF est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, c'est donc un losange.
Soit ABCD un parallélogramme de centre O. Soit AECF un parallélogramme.
Quelle est la nature du quadrilatère EBFD ?
O est le centre du parallélogramme ABCD, donc O est le milieu des diagonales \left[AC\right] et \left[BD\right]. Le centre du parallélogramme AECF est le milieu commun des diagonales \left[AC\right] et \left[EF\right], or O est le milieu de \left[AC\right] donc le centre du parallélogramme ACEF est le point O.
Par conséquent, les diagonales \left[BD\right] et \left[EF\right] du quadrilatère EBFD ont donc même milieu O.
Ainsi, EBFD est un quadrilatère non croisé dont les diagonales se coupent en leur milieu, c'est donc un parallélogramme.
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que \widehat{ABC}=45^{°}. On nomme D l'image du point A par la symétrie d'axe \left(BC\right) .
Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
Les angles \overset{\frown}{ACB} et \overset{\frown}{BCD} sont symétriques par rapport à la droite \left(BC\right), ils ont donc la même mesure. Or \overset{\frown}{ACB}=45^{°}, par conséquent : \overset{\frown}{ACD}=\overset{\frown}{BCD}+\overset{\frown}{ACB}=45^{°}+45^{°}=90^{°}.
Les angles \overset{\frown}{BAC} et \overset{\frown}{CDB} sont symétriques par rapport à la droite \left(BC\right), ils ont donc la même mesure. Or \overset{\frown}{BAC}=90^{°} car le triangle ABC est rectangle en A, par conséquent : \overset{\frown}{CDB}=90^{°}.
Les trois angles \overset{\frown}{BAC}, \overset{\frown}{CDB} et \overset{\frown}{ACD} sont droits et puisqu'un quadrilatère possédant trois angles droits est un rectangle, ABDC est donc un rectangle.
Or les segments \left[AC\right] et \left[CD\right] sont symétriques par rapport à la droite \left(BC\right) , ils ont donc la même longueur. Par conséquent : AC=CD.
Ainsi, ABDC est un rectangle ayant deux côtés consécutifs de même longueur, c'est donc un carré.
Soit ABCD un cerf-volant. On nomme F, G, H et E les milieux respectifs des segments \left[AB\right], \left[BC\right], \left[CD\right] et \left[DA\right] .
Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ?
Rappelons que la droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté. Ainsi :
- Dans le triangle BCD : G est milieu de \left[BC\right], H est milieu de \left[CD\right], donc \left(GH\right)//\left(BD\right).
-
Dans le triangle ABD : E est milieu de \left[AD\right] , F est milieu de \left[AB\right], donc \left(FE\right)//\left(BD\right)
Or si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles, on a donc \left(FE\right)//\left(GH\right).
De même \left(EH\right)//\left(FG\right), en remarquant que :
- Dans le triangle ACD : E est milieu de \left[AD\right], H est milieu de \left[CD\right], donc \left(AC\right)//\left(EH\right).
-
Dans le triangle ABC : F est milieu de \left[AB\right], G est milieu de \left[BC\right], donc \left(AC\right)//\left(FG\right)
Finalement, EFGH est un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est donc un parallélogramme.
Dans un cerf-volant, les diagonales sont perpendiculaires. Or si deux droites sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre, donc les côtés du parallélogramme EFGH sont perpendiculaires.
Ainsi, EFGH est un parallélogramme ayant au moins un angle droit, c'est donc un rectangle.