On a A\left(-1;1;2\right), B\left(1;4;1\right) et C\left(-1;2;3\right).
Quelle proposition démontre correctement que A, B et C forment un plan ?
Les points A, B et C forment un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A\end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1+1 \cr\cr 4-1 \cr\cr 1-2 \end{pmatrix}, donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A\end{pmatrix}, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1+1 \cr\cr 2-1 \cr\cr 3-2 \end{pmatrix}, donc \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}
Les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
A, B et C forment bien un plan.
Quelle proposition démontre que \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 2 \cr\cr -2 \end{pmatrix} est normal au plan ABC ?
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0, c'est-à-dire si et seulement si :
x_\overrightarrow{u}x_\overrightarrow{v}+y_\overrightarrow{u}y_\overrightarrow{v}+z_\overrightarrow{u}z_\overrightarrow{v}=0
Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 2 \cr\cr -2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}. D'où :
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=-4\times2+2\times3+\left(-2\right)\times\left(-1\right)=-8+6+2=0
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=-4\times0+2\times1+\left(-2\right)\times1=0+2-2=0
\overrightarrow{n} est bien orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan ABC.
Dans quelle proposition en déduit-on une équation cartésienne du plan ABC, noté P ?
P a pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 2 \cr\cr -2 \end{pmatrix} donc P a une équation cartésienne de la forme :
-4x+2y-2z+d=0
De plus, A\left(-1;1;2\right)\in P donc ses coordonnées vérifient l'équation de P.
On obtient :
-4\times\left(-1\right)+2\times1-2\times2+d=0
4+2-4+d=0
d=-2
On a donc P:-4x+2y-2z-2=0