Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = 4x^2+x et g\left(x\right) = x^2
On appelle C_f la courbe de la fonction f et C_g la courbe de la fonction g.
Quels sont les points d'intersection de C_f et C_g ?
Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont les solutions de l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0.
Résolution de l'équation
On résout l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right)=0.
f\left(x\right) - g\left(x\right)=0
\Leftrightarrow 4x^2+x-x^2 = 0
\Leftrightarrow 3x^2+x = 0
\Leftrightarrow x\left(3x+1\right) = 0
\Leftrightarrow x= 0 ou 3x+1 = 0
\Leftrightarrow x= 0 ou x = -\dfrac{1}{3}
Détermination des ordonnées des points d'intersection
On a déterminé que les courbes C_f et C_g se coupent en x_1 = 0 et x_2=- \dfrac{1}{3}.
On détermine les ordonnées en remplaçant dans une des deux équations au choix :
- y_1 = 0^2=0
- y_2 = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2= \dfrac{1}{9}
Les points d'intersection de C_f et C_g sont A\left(0 ; 0\right) et B\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{9}\right).
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R}^* par :
f\left(x\right) = x+1 et g\left(x\right) = \dfrac{1}{x}
On appelle C_f la courbe de la fonction f et C_g la courbe de la fonction g.
Quels sont les points d'intersection de C_f et C_g ?
Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont les solutions de l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0.
Résolution de l'équation
On résout l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right)=0, avec x\neq0 :
f\left(x\right) - g\left(x\right)=0
\Leftrightarrow x+1 - \dfrac{1}{x} = 0
\Leftrightarrow \dfrac{x^2+x-1}{x} = 0
Un quotient est nul si son numérateur est nul, on calcule donc le discriminant du numérateur.
\Delta = b^2-4ac = 1^²-4\times 1\times \left(-1\right) = 5
\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux racines distinctes :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 -\sqrt5}{2}
x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 +\sqrt5}{2}
Détermination des ordonnées des points d'intersection
On a déterminé que les courbes C_f et C_g se coupent en x_1 = \dfrac{-1 -\sqrt5}{2} et x_2=\dfrac{-1 +\sqrt5}{2}.
On détermine les ordonnées en remplaçant dans une des deux équations au choix :
- y_1 = \dfrac{-1 -\sqrt5}{2} +1 =\dfrac{1 -\sqrt5}{2}
- y_2 = \dfrac{-1 +\sqrt5}{2}+1= \dfrac{1 +\sqrt5}{2}
Les points d'intersection de C_f et C_g sont A\left(\dfrac{-1 -\sqrt5}{2} ; \dfrac{1 -\sqrt5}{2}\right) et B\left(\dfrac{-1 +\sqrt5}{2}; \dfrac{1 +\sqrt5}{2}\right).
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = x^2+2x et g\left(x\right) = 2x+1
On appelle C_f la courbe de la fonction f et C_g la courbe de la fonction g.
Quels sont les points d'intersection de C_f et C_g ?
Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont les solutions de l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0.
Résolution de l'équation
On résout l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right)=0.
f\left(x\right) - g\left(x\right)=0
\Leftrightarrow x^2+2x-\left(2x+1\right)= 0
\Leftrightarrow x^2-1= 0
\Leftrightarrow x^2 = 1
\Leftrightarrow x = -1 ou x = 1
Détermination des ordonnées des points d'intersection
On a déterminé que les courbes C_f et C_g se coupent en x_1 = -1 et x_2=1.
On détermine les ordonnées en remplaçant dans une des deux équations au choix :
- y_1 = 2\times\left(- 1\right) +1 = -1
- y_2 =2\times 1 +1 = 3
Les points d'intersection de C_f et C_g sont A\left(-1 ; -1\right) et B\left(1;3\right).
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = x^3 et g\left(x\right) = 2x^2
On appelle C_f la courbe de la fonction f et C_g la courbe de la fonction g.
Quels sont les points d'intersection de C_f et C_g ?
Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont les solutions de l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0.
Résolution de l'équation
On résout l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right)=0.
f\left(x\right) - g\left(x\right)=0
\Leftrightarrow x^3-2x^2= 0
\Leftrightarrow x^2\left(x-2\right)=0
\Leftrightarrow x^2 = 0 ou x-2 = 0
\Leftrightarrow x = 0 ou x = 2
Détermination des ordonnées des points d'intersection
On a déterminé que les courbes C_f et C_g se coupent en x_1 = 0 et x_2=2.
On détermine les ordonnées en remplaçant dans une des deux équations au choix :
- y_1 = 0^3 = 0
- y_2 =2^3=8
Les points d'intersection de C_f et C_g sont A\left(0 ; 0\right) et B\left(2 ;8\right).
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R}^* par :
f\left(x\right) = \dfrac{1}{2x} et g\left(x\right) = -\dfrac{1}{x^2}
On appelle C_f la courbe de la fonction f et C_g la courbe de la fonction g.
Quels sont les points d'intersection de C_f et C_g ?
Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont les solutions de l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0.
Résolution de l'équation
On résout l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right)=0.
f\left(x\right) - g\left(x\right)=0
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{x^2} = 0
\Leftrightarrow \dfrac{x}{2x^2} + \dfrac{2}{2x^2} = 0
\Leftrightarrow \dfrac{x+2}{2x^2} = 0
Or un quotient est nul si son numérateur est nul.
On résout donc :
x+2 = 0
\Leftrightarrow x= -2
Détermination des ordonnées des points d'intersection
On a déterminé que les courbes C_f et C_g se coupent en x = -2.
On détermine les ordonnées en remplaçant dans une des deux équations au choix :
- y_1 =- \dfrac{1}{\left(-2\right)^2} = -\dfrac{1}{4}
Le point d'intersection de C_f et C_g est A\left(-2 ; -\dfrac{1}{4}\right).
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = e^x et g\left(x\right) = e^{2x+3}
On appelle C_f la courbe de la fonction f et C_g la courbe de la fonction g.
Quels sont les points d'intersection de C_f et C_g ?
Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont les solutions de l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0.
Résolution de l'équation
On résout l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right)=0.
f\left(x\right) - g\left(x\right)=0
\Leftrightarrow e^{x}-e^{2x+3}= 0
\Leftrightarrow e^{x}= e^{2x+3}
\Leftrightarrow \ln\left( e^{x}\right)=\ln\left( e^{2x+3}\right)
\Leftrightarrow x=2x+3
\Leftrightarrow x=-3
Détermination des ordonnées des points d'intersection
On a déterminé que les courbes C_f et C_g se coupent en x = -3.
On détermine les ordonnées en remplaçant dans une des deux équations au choix :
- y =e^{-3}
Le point d'intersection de C_f et C_g est A\left(-3 ; e^{-3}\right).
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \left] \dfrac{5}{7} ; +\infty \right[ par :
f\left(x\right) = \ln\left(x^2\right) et g\left(x\right) = \ln \left(7x-5\right)
On appelle C_f la courbe de la fonction f et C_g la courbe de la fonction g.
Quels sont les points d'intersection de C_f et C_g ?
Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont les solutions de l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0.
Résolution de l'équation
On résout l'équation f\left(x\right) - g\left(x\right)=0.
f\left(x\right) - g\left(x\right)=0
\Leftrightarrow \ln\left(x^2\right) - \ln\left(7x-5\right) = 0
\Leftrightarrow \ln\left(x^2\right) = \ln\left(7x-5\right)
\Leftrightarrow e^{\ln\left(x^2\right)} = e^{\ln\left(7x-5\right)}
\Leftrightarrow x^2= 7x-5
\Leftrightarrow x^2-7x+5=0
On calcule le discriminant afin de déterminer les racines.
\Delta = b^2-4ac = \left(-7\right)^²-4\times 1\times 5 = 29
\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux racines distinctes :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7 -\sqrt{29}}{2}
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7 +\sqrt{29}}{2}
Détermination des ordonnées des points d'intersection
On a déterminé que les courbes C_f et C_g se coupent en x_1 = \dfrac{7-\sqrt{29}}{2} et x_2 = \dfrac{7-\sqrt{29}}{2}
On détermine les ordonnées en remplaçant dans une des deux équations au choix :
- y_1=\ln\left(\dfrac{7-\sqrt{29}}{2}\right)^2
- y_2=\ln\left(\dfrac{7+\sqrt{29}}{2}\right)^2
Les points d'intersection de C_f et C_g sont A\left( \dfrac{7-\sqrt{29}}{2}; \ln\left( \dfrac{7-\sqrt{29}}{2}\right)^2\right) et B\left( \dfrac{7+\sqrt{29}}{2}; \ln\left( \dfrac{7+\sqrt{29}}{2}\right)^2\right).