Première S 2015-2016

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La trigonométrie

Lignes trigonométriques des angles remarquables

x (radians) 0 \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{6}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{2}}\) \(\displaystyle{\pi}\) \(\displaystyle{\dfrac{3\pi}{2}}\) \(\displaystyle{2\pi}\)
x (degrés) 0 30 45 60 90 180 270 360
cos(x) 1 \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\) 0 −1 0 1
sin(x) 0 \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\) 1 0 −1 0

Somme des carrés d'un cosinus et sinus

Pour tout réel \(\displaystyle{x}\) : \(\displaystyle{sin^{2}x+cos^{2}x=1}\)

Pour tout réel \(\displaystyle{x}\) :

\(\displaystyle{-1\leq \cos\left(x\right) \leq 1}\)

\(\displaystyle{-1\leq \sin\left(x\right) \leq 1}\)

Formules des angles associés

Pour tout réel \(\displaystyle{x}\) :

  • \(\displaystyle{\cos\left(- x\right) = \cos\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\cos\left(\pi - x\right) = - \cos\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\cos\left(\pi + x\right) = - \cos\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(- x\right) = - \sin\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(\pi - x\right) = \sin\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(\pi + x\right) = - \sin\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\cos\left(\dfrac{\pi }{2} - x\right) = \sin\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(\dfrac{\pi }{2} - x\right) = \cos\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\cos\left(\dfrac{\pi }{2} + x\right) = -\sin\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(\dfrac{\pi }{2} + x\right) = \cos\left(x\right)}\)

Formules d'addition

Pour tous réels \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) :

\(\displaystyle{\cos\left(a-b\right)=\cos\left(a\right)\cos\left(b\right)+\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)}\)

\(\displaystyle{\cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right)\cos\left(b\right)-\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)}\)

\(\displaystyle{\sin\left(a-b\right)=\sin\left(a\right)\cos\left(b\right)-\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)}\)

\(\displaystyle{\sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right)\cos\left(b\right)+\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)}\)

Formules de duplication

Pour tout réel \(\displaystyle{x}\) :

\(\displaystyle{\cos\left(2x\right)=\cos^2\left(x\right)-\sin^2\left(x\right)=2\cos^2\left(x\right)-1=1-2\sin^2\left(x\right)}\)

\(\displaystyle{\sin\left(2x\right)=2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}\)

Equation de la forme \(\displaystyle{\cos\left(x\right) = \cos\left(a\right)}\)

Soit un réel \(\displaystyle{a}\).
L'équation \(\displaystyle{\cos\left(x\right) = \cos\left(a\right)}\), d'inconnue \(\displaystyle{x}\), a pour solutions réelles :

\(\displaystyle{x = a \left[2\pi \right] \text{ ou } x = - a \left[2\pi \right]}\)

c'est-à-dire :

\(\displaystyle{x = a + 2k\pi \text{ } \left(\forall k \in \mathbb{Z}\right) \text{ ou } x = - a + 2k\pi \text{ } \left(\forall k \in \mathbb{Z}\right)}\)

Equation de la forme \(\displaystyle{\sin\left(x\right) = \sin\left(a\right)}\)

Soit un réel \(\displaystyle{a}\).
L'équation \(\displaystyle{\sin\left(x\right) = \sin\left(a\right)}\), d'inconnue \(\displaystyle{x}\), a pour solutions réelles :

\(\displaystyle{x = a \left[2\pi \right] \text{ ou } x = \pi - a \left[2\pi \right]}\)

c'est-à-dire :

\(\displaystyle{x = a + 2k\pi \text{ } \left(\forall k \in \mathbb{Z}\right) \text{ ou } x = \pi - a + 2k\pi \text{ } \left(\forall k \in \mathbb{Z}\right)}\)

Chapitre 6 La trigonométrie
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