Rechercher la mesure principale d'un angleMéthode

Un angle \alpha possède une infinité de mesures en radians. La mesure principale d'un angle est la mesure qui appartient à \left]-\pi ; \pi \right].

Déterminer la mesure principale de l'angle \dfrac{153\pi}{6}.

Etape 1

Chercher k\in \mathbb{Z} tel que \alpha+2k\pi \in\left] -\pi;\pi \right]

On cherche à déterminer la mesure principale de l'angle \alpha.

On écrit que l'on cherche k \in \mathbb{Z} tel que :

-\pi \lt \alpha +k2\pi \leq \pi

On résout cette inéquation pour obtenir un encadrement de k :

-\pi - \alpha\lt k2\pi \leq \pi- \alpha

Soit :

\dfrac{-\pi - \alpha}{2\pi}\lt k \leq \dfrac{\pi- \alpha}{2\pi}

On calcule ensuite une valeur approchée de \dfrac{-\pi - \alpha}{2\pi} et de \dfrac{\pi - \alpha}{2\pi}, et on choisit la valeur de k \in \mathbb{Z} vérifiant l'inégalité.

k doit être un entier relatif.

On cherche l'entier relatif k tel que -\pi \lt \dfrac{153\pi}{6}+k2\pi \leq \pi. On résout :

-\pi \lt \dfrac{153\pi}{6}+k2\pi \leq \pi

\Leftrightarrow -\pi-\dfrac{153\pi}{6} \lt k2\pi \leq \pi-\dfrac{153\pi}{6}

\Leftrightarrow -\dfrac{159\pi}{6} \lt k2\pi \leq -\dfrac{147\pi}{6}

\Leftrightarrow -\dfrac{159\pi}{6 \times 2\pi} \lt k \leq -\dfrac{147\pi}{6\times 2\pi}

\Leftrightarrow -\dfrac{159}{12} \lt k \leq -\dfrac{147}{12}

Or :

  • - \dfrac{159}{12} = -13,25
  • - \dfrac{147}{12} = -12,25

On en déduit donc que k = -13.

Etape 2

Déterminer la mesure principale

Pour la valeur de k déterminée précédemment, on calcule \alpha +k2\pi.

La valeur trouvée est la mesure principale de l'angle \alpha.

On calcule \dfrac{153\pi}{6} +2k\pi avec la valeur de k trouvée précédemment :

\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{153\pi}{6} - 26\pi

\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{153\pi}{6} - \dfrac{26\pi\times 6}{6}

\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{153\pi-156\pi}{6}

\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{-3\pi}{6}

\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{-\pi}{2}

La mesure principale de l'angle \dfrac{153\pi}{6} est donc - \dfrac{\pi}{2}.