Démontrer grâce aux angles orientés le parallélisme ou l'orthogonalité Méthode

Sommaire

Méthode 1Démontrer que deux droites sont parallèles 1Énoncer le cours 2Calculer une mesure de l'angle 3ConclureMéthode 2Démontrer que trois points sont alignés 1Énoncer le cours 2Calculer une mesure de l'angle 3ConclureMéthode 3Démontrer que deux droites sont perpendiculaires 1Enoncer le cours 2Calculer une mesure de l'angle 3Conclure
Méthode 1

Démontrer que deux droites sont parallèles

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.

On considère la figure suivante :

-

Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Etape 1

Énoncer le cours

On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.

Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.

Etape 2

Calculer une mesure de l'angle

On calcule une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right).

D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BE}\right)+ \left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{EC}\right)+\left(\overrightarrow{EC};\overrightarrow{CD}\right)

On détermine une mesure de chacun des angles :

  • \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BE}\right)=\dfrac{\pi}{2}
  • \left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{EC}\right)=\left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{EB}\right)+\left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{EC}\right)= \pi +\dfrac{\pi}{4} =\dfrac{5\pi}{4}
  • \left(\overrightarrow{EC};\overrightarrow{CD}\right) =\left(\overrightarrow{EC};\overrightarrow{CE}\right)+\left(\overrightarrow{CE};\overrightarrow{CD}\right)= \pi -\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}

On en déduit qu'une mesure de \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) est :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) =\dfrac{\pi}{2}+ \dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}

Une mesure de \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) est donc :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = 2\pi

Etape 3

Conclure

Si \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

On a :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = 2\pi = 0 \left[ \pi \right]

On en conclut que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Méthode 2

Démontrer que trois points sont alignés

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.

On considère le carré ABCD, E le milieu de [BD] et BDF un triangle équilatéral.

-

Démontrer, en utilisant les angles orientés, que les points A, E et F sont alignés.

Etape 1

Énoncer le cours

On rappelle que trois points A, B et C sont alignés si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.

Les trois points A, E et F sont alignés si et seulement si \left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AF}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.

Etape 2

Calculer une mesure de l'angle

On calcule une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right).

D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :

\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) = \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD}\right)+ \left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{DE}\right)+\left(\overrightarrow{DE};\overrightarrow{EF}\right)

On détermine une mesure de chacun des angles :

  • La droite (AE) est la bissectrice de l'angle \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right), donc \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right) = \dfrac{\pi}{4}
  • La droite (DE) est la bissectrice de l'angle \left(\overrightarrow{DA} ; \overrightarrow{DC}\right), donc \left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DE}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}\right) = \dfrac{\pi}{4}. D'où \left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{DE}\right)=\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{DA}\right) +\left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DE}\right) =\pi+ \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}
  • \left(\overrightarrow{DE};\overrightarrow{EF}\right) =\dfrac{\pi}{2}

On en déduit qu'une mesure de \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) est :

\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) = \dfrac{\pi}{4}+ \dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}

Une mesure de \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) est donc :

\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) =2 \pi

Etape 3

Conclure

Si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}, alors les points A, B et C sont alignés.

On a :

\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) = 2\pi = 0 +2\pi\ \left[ 2\pi \right]

On en conclut que les droites A, E et F sont alignés.

Méthode 3

Démontrer que deux droites sont perpendiculaires

Deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi avec k \in \mathbb{Z}.

On considère la figure suivante :

-

Montrer que les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires.

Etape 1

Enoncer le cours

On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi avec k \in \mathbb{Z}.

Deux droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi avec k \in \mathbb{Z}.

Etape 2

Calculer une mesure de l'angle

On calcule l'angle \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right).

D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}\right)+ \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD}\right)+\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DE}\right)

On détermine une mesure de chacun des angles :

  • \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC }\right)=\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC }\right)= \pi-\dfrac{\pi}{4}= \dfrac{3\pi}{4}
  • \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)= \pi + \dfrac{\pi}{3} =\dfrac{4\pi}{3}
  • \left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DE}\right) =\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DE}\right)= \pi -\dfrac{7\pi}{12} =\dfrac{5\pi}{12}

On en déduit qu'une mesure de \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) est :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{3\pi}{4}+ \dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{5\pi}{12}

Soit :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{9\pi}{12}+ \dfrac{16\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{12}

Une mesure de \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) est donc :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{30\pi}{12}

Etape 3

Conclure

Si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) =\dfrac{\pi}{2} +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}. Alors les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

On a :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{24\pi}{12}+\dfrac{6\pi}{12} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\ \left[ 2\pi \right]

On en conclut que les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires.