On considère l'inéquation trigonométrique suivante :
\cos\left(x\right) \geq \dfrac{1}{2}
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation dans \left[ 0 ; 2\pi \right] ?
On sait que :
\dfrac{1}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)
Une autre mesure d'un angle de mesure -\dfrac{\pi}{3} est -\dfrac{\pi}{3} +2\pi = \dfrac{5\pi}{3}.
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right] on représente le cercle trigonométrique renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui correspondent aux réels x tels que \cos\left(x\right) \geq \dfrac{1}{2}.
L'ensemble des solutions S_1 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_1 = \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{5\pi}{3} ;2\pi \right]
Quel est l'ensemble S_2 des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] ?
De nouveau, on trace le cercle trigonométrique, cette fois-ci en faisant apparaître l'angle -\dfrac{\pi}{3} qui appartient à l'intervalle recherché.
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
- On part de -\dfrac{\pi}{3}, première solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en \dfrac{\pi}{3}, dernière solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
L'ensemble des solutions S_2 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_2 = \left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3} \right]
Quel est l'ensemble S_3 des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} ?
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ -\pi ; \pi \right] est :
S_2 = \left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3} \right]
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme \left[-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ; \dfrac{\pi}{3}+k2\pi \right], k\in\mathbb{Z}.
S_3=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ; \dfrac{\pi}{3}+k2\pi \right]