Quelle est la solution de l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} ?
\sin\left(x\right) =-\dfrac{1}{2}
On remarque que :
\sin \left(x\right) =-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x \right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = x et b = -\dfrac{\pi}{6}, on obtient :
\sin \left(x\right) =-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; \dfrac{7\pi}{6}+k2\pi \right\}
Quelle est la solution de l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} ?
\sin\left(x\right) =0
On remarque que :
\sin \left(x\right) =0 \Leftrightarrow \sin \left(x \right)=\sin\left(0\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = x et b = 0, on obtient :
\sin \left(x\right) =0\Leftrightarrow\begin{cases} x=0+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\pi-0+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} x=0+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\pi+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ce qui correspond à x = \pi + k \pi
S = \left\{ \pi +k\pi \right\}
Quelle est la solution de l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} ?
\sin\left(2x\right) =\dfrac{\sqrt3}{2}
On remarque que :
\sin \left(2x\right) =\dfrac{\sqrt3}{2} \Leftrightarrow \sin \left(2x \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a =2 x et b = \dfrac{\pi}{3}, on obtient :
\sin \left(2x\right) =\dfrac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow\begin{cases} 2x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k\pi; \dfrac{\pi}{3}+k\pi \right\}
Quelle est la solution de l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} ?
\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) =\dfrac{\sqrt2}{2}
On remarque que :
\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) =\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x+\dfrac{\pi}{2} \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = x+\dfrac{\pi}{2} et b = \dfrac{\pi}{4}, on obtient :
\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) =\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x+\dfrac{\pi}{2}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
S = \left\{ -\dfrac{\pi}{4} +k2\pi ; \dfrac{\pi}{4} +k2\pi\right\}
Quelle est la solution de l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} ?
\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{\sqrt3}{2}
On remarque que :
\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow \sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = 2x-\dfrac{\pi}{6} et b = \dfrac{\pi}{3}, on obtient :
\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow\begin{cases} 2x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x-\dfrac{\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 2x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 2x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
S = \left\{ \dfrac{\pi}{4} +k\pi ; \dfrac{5\pi}{12} +k\pi\right\}, avec k\in\mathbb{Z}
Quelle est la solution de l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} ?
\sin\left(2x\right) =\dfrac{\sqrt2}{2}
On remarque que :
\sin \left(2x\right) =\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \sin \left(2x \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = 2x et b = \dfrac{\pi}{4}, on obtient :
\sin \left(2x\right) =\dfrac{\sqrt2}{2}
\Leftrightarrow\begin{cases} 2x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr2 x=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{8}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{3\pi}{8}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
S = \left\{ \dfrac{3\pi}{8}+k\pi; \dfrac{\pi}{8}+k\pi \right\}