On considère la figure ci-dessous composée d'un carré ABCD tel que \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}\right) = \dfrac{\pi}{2}\left[ 2\pi \right] et de deux triangles équilatéraux AEB et BCF tels que \left(\overrightarrow{EA}; \overrightarrow{EB}\right) = \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right] et \left(\overrightarrow{FC}; \overrightarrow{FB}\right) = \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right].
On se propose de démontrer que les points D, E et F sont alignés en utilisant les propriétés des angles orientés.
Quelle est la nature des triangles ADE et EFB ?
Triangle ADE
On sait que le triangle ABE est équilatéral.
Donc AB = AE.
Or AB est un côté du carré ABCD.
Il en résulte notamment que AB = AD.
On en déduit donc que AD = AE.
Donc le triangle ADE est isocèle en A.
Triangle EBF
On sait que le triangle BCF est équilatéral.
Donc BF = BC
On sait que le triangle ABE est équilatéral.
AB est un côté du carré ABCD.
Il en résulte notamment que AB = BC = BE.
On en déduit donc que BF = BE.
Donc le triangle BEF est isocèle en B.
Les triangles ADE et EBF sont donc isocèles.
En déterminant une mesure de l'angle orienté \left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF} \right), quelle est la mesure de l'angle orienté \left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{EF} \right) ?
D'après la relation de Chasles, on sait que :
\left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF} \right) =\left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BA} \right) + \left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC} \right)+ \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BF} \right)\left[ 2\pi \right]
On sait que les triangles ABE et BCF sont équilatéraux et que ABCD est un carré.
On a donc :
- \left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BA} \right) = \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
- \left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC} \right) = -\dfrac{\pi}{2}\left[ 2\pi \right]
- \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BF} \right) = -\dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
On peut en déduire :
\left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF} \right) = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3} \left[ 2\pi \right]=- \dfrac{\pi}{2}\left[ 2\pi \right]
Or on sait d'après la question 1 que le triangle EBF est isocèle en B.
On a donc :
\left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{EF} \right) =\left(\overrightarrow{FE};\overrightarrow{FB} \right)\left[ 2\pi \right] = \dfrac{\pi - \left(\overrightarrow{BF};\overrightarrow{BE} \right)}{2}\left[ 2\pi \right]
Soit :
\left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{EF} \right) =\left(\overrightarrow{FE};\overrightarrow{FB} \right)\left[ 2\pi \right] = \dfrac{\pi -\dfrac{\pi}{2}}{2}\left[ 2\pi \right] = \dfrac{\pi}{4}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{EF} \right) = \dfrac{\pi}{4}\left[ 2\pi \right]
Quelle est la mesure de l'angle orienté \left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EA} \right) ?
On sait que le triangle ADE est isocèle en A.
On en déduit que :
\left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EA} \right) = \dfrac{\pi - \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD} \right) }{2}\left[ 2\pi \right]
Or, d'après la relation de Chasles :
\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD} \right) = \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AB} \right) +\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} \right)\left[ 2\pi \right]
Soit :
\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD} \right) = -\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD} \right) =-\dfrac{2\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{6} \left[ 2\pi \right]=\dfrac{\pi}{6}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD} \right) =\dfrac{\pi}{6}\left[ 2\pi \right]
On en déduit que :
\left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EA} \right) = \dfrac{\pi - \dfrac{\pi}{6}}{2}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EA} \right) = \dfrac{\dfrac{5\pi}{6}}{2}\left[ 2\pi \right]
Finalement :
\left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EA} \right) = \dfrac{5\pi}{12}\left[ 2\pi \right]
D'après la relation de Chasles, quelle est la mesure de \left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EF} \right) ?
D'après la relation de Chasles :
\left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EF} \right) = \left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EA} \right) +\left(\overrightarrow{EA};\overrightarrow{EB} \right) + \left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{EF} \right)\left[ 2\pi \right]
Or d'après les questions précédentes, on sait que :
- \left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EA} \right) = \dfrac{5\pi}{12}\left[ 2\pi \right]
- \left(\overrightarrow{EA};\overrightarrow{EB} \right) = \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
- \left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{EF} \right) =\dfrac{\pi}{4}\left[ 2\pi \right]
On en déduit que :
\left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EF} \right) = \dfrac{5\pi}{12}+ \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EF} \right) = \dfrac{5\pi}{12}+ \dfrac{4\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{12}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EF} \right) =\dfrac{12\pi}{12}\left[ 2\pi \right] = \pi\left[ 2\pi \right]
On vient de démontrer qu'une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EF} \right) est \pi, les points D, E et F sont donc alignés.