Donner les solutions d'une équation trigonométrique dans un intervalle donnéMéthode

Lorsque l'on résout une équation trigonométrique, on obtient souvent une infinité de solutions sur \mathbb{R}. L'énoncé peut demander de restreindre l'ensemble de ces solutions à un intervalle I donné.

Résoudre l'équation trigonométrique suivante sur \left]-\pi ; \pi\right] :

\cos \left(3x\right) = -1

Etape 1

Résoudre l'équation dans \mathbb{R}

On résout l'équation trigonométrique sur \mathbb{R}.

On obtient un ensemble de solutions de la forme S = \left\{ a+k \dfrac {\pi}{b} \right\}, avec a\in\mathbb{R}, b\in\mathbb{R} et k\in\mathbb{Z}.

On remarque que \cos \left(\pi \right)= -1

Donc, pour tout réel x :

\cos\left(3x\right) = -1

\Leftrightarrow \cos\left(3x\right) = \cos\left(\pi\right)

D'après le cours, on sait que pour tous réels a et b :

\cos\left(a\right) = \cos \left(b\right) \Leftrightarrow\begin{cases}a= b + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr \cr a = -b+ 2k \pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}

Ici, en posant a = 3x et b = \pi, on obtient, pour tout réel x :

\cos\left(3x\right) = \cos \left(\pi\right)

\Leftrightarrow\begin{cases} 3x= \pi + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr \cr 3x = -\pi + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} x= \dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \cr \cr x =- \dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}

Or -\dfrac{\pi}{3} +1\times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}

D'où, pour tout réel x :

\cos\left(3x\right) = \cos \left(\pi\right)

\Leftrightarrow x= \dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z}

On en déduit que les solutions de l'équation sur \mathbb{R} sont :

S = \left\{ \dfrac{\pi}{3}+ k \dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \right\}

Etape 2

Rappeler l'intervalle demandé

On rappelle l'intervalle sur lequel on cherche les solutions de l'équation.

On cherche les solutions de l'équation sur \left]-\pi ; \pi \right].

Etape 3

Déterminer les valeurs de k pour lesquelles la solution appartient à l'intervalle demandé

On cherche à déterminer k tel que les solutions de l'équation appartiennent à \left[ c;d \right]

On écrit que l'on cherche k \in \mathbb{Z} tel que :

-\pi \lt a+k \dfrac {\pi}{b} \leq \pi

On résout cette inéquation afin d'avoir un encadrement de k :

-\pi \lt a+k \dfrac {\pi}{b} \leq \pi

\Leftrightarrow -\pi -a\lt k \dfrac {\pi}{b} \leq \pi-a

Donc \left(-\pi -a\right) \times \dfrac{b}{\pi} \lt k \leq \left(\pi-a\right)\times \dfrac{b}{\pi}

On calcule ensuite une valeur approchée de \left(-\pi -a\right) \times \dfrac{b}{\pi} et de \left(\pi -a\right) \times \dfrac{b}{\pi}, et on choisit les valeurs de k \in \mathbb{Z} vérifiant l'inégalité.

On cherche l'entier relatif k tel que -\pi \lt \dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3}\leq \pi :

-\pi \lt \dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3}\leq \pi

\Leftrightarrow -\pi-\dfrac{\pi}{3} \lt k\dfrac{2\pi}{3}\leq \pi-\dfrac{\pi}{3}

\Leftrightarrow -\dfrac{4\pi}{3} \lt k\dfrac{2\pi}{3}\leq \dfrac{2\pi}{3}

\Leftrightarrow -\dfrac{4\pi}{3} \times\dfrac{3}{2\pi} \lt k\leq \dfrac{2\pi}{3}\times \dfrac{3}{2\pi}

\Leftrightarrow -2\lt k\leq 1

On en déduit donc que k peut prendre les valeurs k=-1 ; k=0 et k=1.

Etape 4

Conclure

Pour les valeurs de k déterminées précédemment, on calcule a +k\dfrac{\pi}{b}.

Les valeurs trouvées sont les solutions de l'équation trigonométriques sur \left[ c;d \right].

On calcule \dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3} avec les valeurs de k trouvées précédemment :

  • \dfrac{\pi}{3} -1\times \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3}
  • \dfrac{\pi}{3} +0\times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}
  • \dfrac{\pi}{3} +1\times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{3} = \pi

On en déduit que les solutions de l'équation \cos \left(3x\right)= -1 sur \left]-\pi;\pi \right] sont :

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{3} ; \pi \right\}