La dérivationCours

I

Le nombre dérivé

Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.

A

Le taux d'accroissement

Taux d'accroissement

Soit un réel a appartenant à l'intervalle I.
Pour tout réel h non nul tel que \left(a+h\right) appartienne à I, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et \left(a+h\right) le quotient :

\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}

En posant x = a + h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :

\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}

Nombre dérivé

Soit a un réel de l'intervalle I. La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).

Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f'\left(a\right) :

\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}= f'\left(a\right)

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right) = x^2 + 1.

Son taux d'accroissement en 1 est égal à :

\dfrac{\left(x^2+1\right) - \left(1^2 + 1\right)}{x-1} = \dfrac{x^2 -1}{x-1} = \dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} = x+1

Or :

\lim\limits_{x \to 1}\left( x+1 \right) = 2, et 2\in\mathbb{R}.

On en déduit que la fonction f est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est f'\left(1\right) = 2.

Si f est définie à gauche et à droite de a, cette limite doit être identique des deux côtés de a. Dans le cas contraire (pour la fonction valeur absolue en 0 par exemple), la fonction n'est pas dérivable en a.

Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

La réciproque est fausse.

B

La tangente à une courbe d'une fonction en un point

Tangente

Soit a un réel de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées \left(a ; f\left(a\right)\right), de coefficient directeur f'\left(a\right), dont une équation est :

y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)

Sachant que la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^2+1 est dérivable en 1 et que f'\left(1\right) = 2, on peut établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :

y = f'\left(1\right) \left(x - 1\right) + f\left(1\right)

Soit :

y = 2\left(x-1\right) + 2

y = 2x - 2 + 2

y = 2x

La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est la droite d'équation y=2x.

II

La fonction dérivée

A

La dérivée sur un intervalle

Fonction dérivée

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction notée f' qui, à tout réel x de I, associe f'\left(x\right).

Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.

Attention, la réciproque est fausse.

Dérivée seconde

Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Si f' est également dérivable sur I, la dérivée de f' sur I, notée f'', est appelée dérivée seconde de f ou dérivée d'ordre 2 de f sur I.

B

Les dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel \lambda et un entier naturel n ; on désigne par D_{f} le domaine de définition de f et par D_{f'} son domaine de dérivabilité.

f\left(x\right) f'\left(x\right) D_{f} D_{f'}
\lambda (se dit "lambda") 0 \mathbb{R} \mathbb{R}
x 1 \mathbb{R} \mathbb{R}
x^{n} \left(n \geq 1\right) nx^{n-1} \mathbb{R} \mathbb{R}
\dfrac{1}{x^n}\left(n \geq 1\right) -\dfrac{n}{x^{n+1}} \mathbb{R}^{*} \mathbb{R}^{*}
\sqrt{x} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \mathbb{R}^{+} \mathbb{R}^{+{\textcolor{Red}*}}
C

Les opérations sur les dérivées

Soit un réel \lambda, on désigne par u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

f f'
\lambda u \lambda u'
u + v u' + v'
uv u'v + uv'
\dfrac{1}{v} (si v ne s'annule pas sur I ) -\dfrac{v'}{v^2}
\dfrac{u}{v} (si v ne s'annule pas sur I ) \dfrac{u'v–uv'}{v^2}
D

Les dérivées de fonctions composées

Fonction composée

Soient une fonction f dérivable sur I, a et b deux réels tels que pour tout x de I, ax+b \in I.
La fonction x \longmapsto f\left(ax+b\right) est alors dérivable sur I et a pour dérivée la fonction :

x\longmapsto af'\left(ax+b\right)

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(2x+5\right)^2=g\left(2x+5\right) avec g\left(x\right)=x^2.

La fonction dérivée de f est :

f'\left(x\right)=2\times g'\left(2x+5\right)=2\times 2\left(2x+5\right)=8x+20

Soit u une fonction dérivable sur I.

f f'
u^{n} \left(n \geq 1\right) nu'u^{n-1}
\sqrt{u} (si u\left(x\right) {\textcolor{Red}\gt} 0 ) \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}
III

Les applications de la dérivation

A

Le sens de variation d'une fonction

Sens de variation

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2-x+3}. On admet que f est dérivable sur \mathbb{R}.

f=\dfrac{1}{v} avec, pour tout réel x, v\left(x\right)=x^2-x+3. v est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme et, pour tout réel x, v'\left(x\right)=2x-1.

Ainsi :

f'=\dfrac{-v'}{v^2}

Soit, pour tout réel x :

f'\left(x\right)=\dfrac{-2x+1}{\left(x^2-x+3\right)^2}

Or :

  • Pour tout réel x, \left(x^2-x+3\right)^2\gt0, car le discriminant de x^2-x+3 est strictement négatif
  • -2x+1\gt0\Leftrightarrow x\lt\dfrac{1}{2}

On obtient le signe de f'\left(x\right) :

-

On en conclut que :

  • f est croissante sur \left] -\infty; \dfrac{1}{2}\right].
  • f est décroissante sur \left[ \dfrac{1}{2};+\infty\right[.

Stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
B

Les extrema locaux d'une fonction

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

  • Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f'\left(a\right)=0 et f' change de signe en a.
  • Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f\left(a\right) est un extremum local de f.

Si f' s'annule en a et y passe d'un signe négatif à un signe positif, alors cet extremum est un minimum.

Si f' s'annule en a et y passe d'un signe positif à un signe négatif, alors cet extremum est un maximum.

On reprend l'exemple de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2-x+3}. On sait que f' s'annule en changeant de signe en \dfrac{1}{2}, avec f'\left(x\right)\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant\dfrac{1}{2} et f'\left(x\right)\leqslant0\Leftrightarrow x\geqslant\dfrac{1}{2}.

Ainsi, f admet un maximum local en \dfrac{1}{2}.

f' peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0.

Tangente horizontale

Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.