La dérivation Cours

I

Le nombre dérivé

Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.

A

Le taux d'accroissement

Taux d'accroissement

Soit un réel a appartenant à l'intervalle I.
Pour tout réel h non nul tel que \(\displaystyle{\left(a+h\right)}\) appartienne à I, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et \(\displaystyle{\left(a+h\right)}\) le quotient :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}\)

En posant \(\displaystyle{x = a + h}\), le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}}\)

Nombre dérivé

Soit a un réel de l'intervalle I. La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).

Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) :

\(\displaystyle{\lim_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\lim_{x \to a}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}= f'\left(a\right)}\)

On considère la fonction \(\displaystyle{f}\) définie pour tout réel \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2 + 1}\).

Son taux d'accroissement en 1 est égal à :

\(\displaystyle{\dfrac{\left(x^2+1\right) - \left(1^2 + 1\right)}{x-1} = \dfrac{x^2 -1}{x-1} = \dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} = x+1}\)

Or :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 1}\left( x+1 \right) = 2}\), et \(\displaystyle{ 2\in\mathbb{R}}\).

On en déduit que la fonction \(\displaystyle{f}\) est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de \(\displaystyle{f}\) en 1 est \(\displaystyle{f'\left(1\right) = 2}\).

Si \(\displaystyle{f}\) est définie à gauche et à droite de \(\displaystyle{a}\), cette limite doit être identique des deux côtés de a. Dans le cas contraire (pour la fonction valeur absolue en 0 par exemple), la fonction n'est pas dérivable en \(\displaystyle{a}\).

Si \(\displaystyle{f}\) est dérivable en \(\displaystyle{a}\), alors \(\displaystyle{f}\) est continue en \(\displaystyle{a}\).

La réciproque est fausse.

B

La tangente à une courbe d'une fonction en un point

Tangente

Soit a un réel de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées \(\displaystyle{\left(a ; f\left(a\right)\right)}\), de coefficient directeur \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\), dont une équation est :

\(\displaystyle{y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)}\)

Sachant que la fonction \(\displaystyle{f}\) définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2+1}\) est dérivable en 1 et que \(\displaystyle{f'\left(1\right) = 2}\), on peut établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :

\(\displaystyle{y = f'\left(1\right) \left(x - 1\right) + f\left(1\right)}\)

Soit :

\(\displaystyle{y = 2\left(x-1\right) + 2}\)

\(\displaystyle{y = 2x - 2 + 2}\)

\(\displaystyle{y = 2x}\)

La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est la droite d'équation \(\displaystyle{y=2x}\).

II

La fonction dérivée

A

La dérivée sur un intervalle

Fonction dérivée

Une fonction \(f\) est dérivable sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de \(f\) sur \(I\) la fonction notée \(\displaystyle{f'}\) qui, à tout réel \(x\) de \(I\), associe \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\).

Si \(\displaystyle{f}\) est dérivable sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{I}\).

Attention, la réciproque est fausse.

Dérivée seconde

Soit une fonction \(\displaystyle{f}\) dérivable sur un intervalle \(\displaystyle{I}\).
Si \(\displaystyle{f'}\) est également dérivable sur \(\displaystyle{I}\), la dérivée de \(\displaystyle{f'}\) sur I, notée \(\displaystyle{f''}\), est appelée dérivée seconde de \(\displaystyle{f}\) ou dérivée d'ordre 2 de \(\displaystyle{f}\) sur I.

B

Les dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel \(\displaystyle{\lambda}\) et un entier naturel \(\displaystyle{n}\) ; on désigne par \(\displaystyle{D_{f}}\) le domaine de définition de \(\displaystyle{f}\) et par \(\displaystyle{D_{f'}}\) son domaine de dérivabilité.

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) \(\displaystyle{D_{f}}\) \(\displaystyle{D_{f'}}\)
\(\displaystyle{\lambda}\) (se dit "lambda") \(\displaystyle{0}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x}\) \(\displaystyle{1}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n} \left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{nx^{n-1}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x^n}\left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{-\dfrac{n}{x^{n+1}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\)
\(\displaystyle{\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+{\color{Red}*}}}\)
C

Les opérations sur les dérivées

Soit un réel \(\displaystyle{\lambda}\), on désigne par \(\displaystyle{u}\) et \(\displaystyle{v}\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(\displaystyle{I}\).

\(\displaystyle{f}\) \(\displaystyle{f'}\)
\(\displaystyle{\lambda u}\) \(\displaystyle{\lambda u'}\)
\(\displaystyle{u + v}\) \(\displaystyle{u' + v'}\)
\(\displaystyle{uv}\) \(\displaystyle{u'v + uv'}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{v}}\) (si v ne s'annule pas sur \(\displaystyle{I}\) ) \(\displaystyle{-\dfrac{v'}{v^2}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u}{v}}\) (si v ne s'annule pas sur \(\displaystyle{I}\) ) \(\displaystyle{\dfrac{u'v–uv'}{v^2}}\)
D

Les dérivées de fonctions composées

Fonction composée

Soient une fonction \(\displaystyle{f}\) dérivable sur \(\displaystyle{I}\), \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux réels tels que pour tout \(x\) de \(I\), \(\displaystyle{ax+b \in I}\).
La fonction \(\displaystyle{x \longmapsto f\left(ax+b\right)}\) est alors dérivable sur \(\displaystyle{I}\) et a pour dérivée la fonction :

\(\displaystyle{x\longmapsto af'\left(ax+b\right)}\)

Considérons la fonction \(\displaystyle{f}\) définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\left(2x+5\right)^2=g\left(2x+5\right)}\) avec \(\displaystyle{g\left(x\right)=x^2}\).

La fonction dérivée de \(\displaystyle{f}\) est :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=2\times g'\left(2x+5\right)=2\times 2\left(2x+5\right)=8x+20}\)

Soit u une fonction dérivable sur I.

\(\displaystyle{f}\) \(\displaystyle{f'}\)
\(\displaystyle{u^{n} \left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{nu'u^{n-1}}\)
\(\displaystyle{\sqrt{u}}\) (si \(\displaystyle{u\left(x\right)}\) \(\displaystyle{{\color{Red}\gt}}\) \(\displaystyle{0}\) ) \(\displaystyle{\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}}\)
III

Les applications de la dérivation

A

Le sens de variation d'une fonction

Sens de variation

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction dérivable sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) :

  • Si \(\displaystyle{f'}\) est positive sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est croissante sur \(\displaystyle{I}\).
  • Si \(\displaystyle{f'}\) est négative sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est décroissante sur \(\displaystyle{I}\).
  • Si \(\displaystyle{f'}\) est nulle sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est constante sur \(\displaystyle{I}\).

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2-x+3}}\). On admet que f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

\(\displaystyle{f=\dfrac{1}{v}}\) avec, pour tout réel x, \(\displaystyle{v\left(x\right)=x^2-x+3}\). v est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme et, pour tout réel x, \(\displaystyle{v'\left(x\right)=2x-1}\).

Ainsi :

\(\displaystyle{f'=\dfrac{-v'}{v^2}}\)

Soit, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=\dfrac{-2x+1}{\left(x^2-x+3\right)^2}}\)

Or :

  • Pour tout réel x, \(\displaystyle{\left(x^2-x+3\right)^2\gt0}\), car le discriminant de \(x^2-x+3\) est strictement négatif
  • \(\displaystyle{-2x+1\gt0\Leftrightarrow x\lt\dfrac{1}{2}}\)

On obtient le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) :

-

On en conclut que :

  • f est croissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty; \dfrac{1}{2}\right]}\).
  • f est décroissante sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{1}{2};+\infty\right[}\).

Stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
B

Les extremums locaux d'une fonction

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

  • Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors \(\displaystyle{f'\left(a\right)=0}\) et \(\displaystyle{f'}\) change de signe en a.
  • Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) est un extremum local de f.

Si \(\displaystyle{f'}\) s'annule en a et y passe d'un signe négatif à un signe positif, alors cet extremum est un minimum.

Si \(\displaystyle{f'}\) s'annule en a et y passe d'un signe positif à un signe négatif, alors cet extremum est un maximum.

On reprend l'exemple de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2-x+3}}\). On sait que \(f'\) s'annule en changeant de signe en \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\), avec \(\displaystyle{f'\left(x\right)\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant\dfrac{1}{2}}\) et \(\displaystyle{f'\left(x\right)\leqslant0\Leftrightarrow x\geqslant\dfrac{1}{2}}\).

Ainsi, f admet un maximum local en \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\).

\(\displaystyle{f'}\) peut s'annuler en un réel \(\displaystyle{a}\) (en ne changeant pas de signe) sans que \(\displaystyle{f}\) admette un extremum local en \(\displaystyle{a}\). C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0.

Tangente horizontale

Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.

Sommaire

ILe nombre dérivéALe taux d'accroissementBLa tangente à une courbe d'une fonction en un pointIILa fonction dérivéeALa dérivée sur un intervalleBLes dérivées des fonctions usuellesCLes opérations sur les dérivéesDLes dérivées de fonctions composéesIIILes applications de la dérivationALe sens de variation d'une fonctionBLes extremums locaux d'une fonction