On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^2+x+1.
f est-elle dérivable en 1 ?
Soit h un nombre réel non nul.
D'après le cours, f est dérivable en a si et seulement si \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=l\in\mathbb{R}. Dans ce cas, f'(a)=l.
Calculons le taux d'accroissement \tau_1=\dfrac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} :
\begin{aligned}\tau_1&=\dfrac{\left(1+h\right)^2+\left(1+h\right)+1-\left(1^2+1+1\right)}{h} \\ &= \dfrac{1+2h+h^2+1+h+1-1^2-1-1}{h} \\ &= \dfrac{3h+h^2}{h}& \\&= \dfrac{h\left(3+h\right)}{h} \\ &=3+h \end{aligned}
Or, \lim\limits_{h\to0}3+h=3 et 3\in\mathbb{R}.
Donc f est bien dérivable en 1 et f'\left(1\right) = 3.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^3-1.
f est-elle dérivable en -2 ?
Soit h un nombre réel non nul.
D'après le cours, f est dérivable en a si et seulement si \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=l\in\mathbb{R}. Dans ce cas, f'(a)=l.
Calculons le taux d'accroissement \tau_{-2}=\dfrac{f\left(-2+h\right)-f\left(-2\right)}{h} :
\begin{aligned}\tau_{-2}&=\dfrac{\left(-2+h\right)^3-1-\left(\left(-2\right)^3-1\right)}{h} \\ &= \dfrac{\left(-2\right)^3+3\times \left(-2\right)^2\times h+3\times\left(-2\right)\times h^2+h^3-1-\left(-2\right)^3+1}{h}& \\ &= \dfrac{12h-6h^2+h^3}{h}& \\ &= \dfrac{h\left(12-6h+h^2\right)}{h}& \\ &=12-6h+h^2 \end{aligned}
Or, \lim\limits_{h\to0}12-6h+h^2=12 et 12\in\mathbb{R}.
Donc f est bien dérivable en -2 et f'\left(-2\right) = 12.
On considère la fonction f définie sur \left[0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\sqrt{x}.
f est-elle dérivable en 0 ?
Soit h un nombre réel non nul.
D'après le cours, f est dérivable en a si et seulement si \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=l\in\mathbb{R}. Dans ce cas, f'(a)=l.
Calculons le taux d'accroissement \tau_{0}=\dfrac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h} :
\begin{aligned}\tau_{0}&=\dfrac{\sqrt{h}-\sqrt0}{h} \\ &= \dfrac{\sqrt h}{h}& \\ &= \dfrac{1}{\sqrt h} \end{aligned}
Or, \lim\limits_{h\to0^+}\sqrt h=0^+, ainsi par quotient \lim\limits_{h\to0^+}\dfrac1{\sqrt h}=+\infty.
+\infty n'tant pas un nombre réel, on a ainsi que f n'est pas dérivable en 0.
f n'est pas dérivable en 0.
On considère la fonction f définie sur \left[0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=|x^2-1|.
f est-elle dérivable en 1 ?
Soit h un nombre réel non nul.
D'après le cours, f est dérivable en a si et seulement si \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=l\in\mathbb{R}. Dans ce cas, f'(a)=l.
Calculons le taux d'accroissement de f en 1 \tau_{1}=\dfrac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} :
\begin{aligned}\tau_{1}&=\dfrac{|\left(1+h\right)^2-1|}{h} \\ &= \dfrac{|h^2+2h|}{h}& \\ &= \dfrac{|h\left(h+2\right)|}{h}\\ &=\dfrac{|h|}{h}|h+2| \end{aligned}
Or, \lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{|h|}{h}=1, ainsi par produit \lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{|h|}{h}|h+2|=2.
De plus, \lim\limits_{h\to0^-}\dfrac{|h|}{h}=-1, ainsi par produit \lim\limits_{h\to0^-}\dfrac{|h|}{h}|h+2|=-2.
Les limites à gauche et à droite étant différentes, on peut affirmer que f n'est pas dérivable en 1. Sa courbe représentative admet deux demi-tangentes en ce point.
f n'est pas dérivable en 1.
On considère la fonction f définie sur \left[-\dfrac32;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\sqrt{3+2x}.
f est-elle dérivable en 5 ?
Soit h un nombre réel non nul.
D'après le cours, f est dérivable en a si et seulement si \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=l\in\mathbb{R}. Dans ce cas, f'(a)=l.
Calculons le taux d'accroissement \tau_{5}=\dfrac{f\left(5+h\right)-f\left(5\right)}{h} :
\begin{aligned}\tau_{5}&=\dfrac{\sqrt{3+2\left(5+h\right)}-\sqrt{13}}{h} \\ &= \dfrac{\sqrt{13+2h}-\sqrt{13}}{h} \end{aligned}
Or, en passant à la limite dans cette fraction, on obtient une forme indéterminée du type " \dfrac00 ". Pour lever cette indétermination, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur. Ainsi :
\tau_{5}=\dfrac{\sqrt{13+2h}-\sqrt{13}}{h}
\tau_{5} =\dfrac{\sqrt{13+2h}-\sqrt{13}}{h}\times\dfrac{\sqrt{13+2h}+\sqrt{13}}{\sqrt{13+2h}+\sqrt{13}}
\tau_{5}=\dfrac{\left(\sqrt{13+2h}\right)^2-\left(\sqrt{13}\right)^2}{h\left(\sqrt{13+2h}+\sqrt{13}\right)}
\tau_{5}=\dfrac{2h}{h\left(\sqrt{13+2h}+\sqrt{13}\right)}
\tau_{5}=\dfrac2{\sqrt{13+2h}+\sqrt{13}}
Or, \lim\limits_{h\to0}\sqrt{13+2h}=\sqrt{13}, ainsi au final \lim\limits_{h\to0}\dfrac{2}{\sqrt{13+2h}+\sqrt{13}}=\dfrac{2}{2\sqrt{13}}=\dfrac{1}{\sqrt{13}} et \dfrac1{\sqrt{13}}\in\mathbb{R}.
f est dérivable en 5 et f'\left(5\right)=\dfrac1{\sqrt{13}}.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=3x-5.
f est-elle dérivable en -7 ?
Soit h un nombre réel non nul.
D'après le cours, f est dérivable en a si et seulement si \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=l\in\mathbb{R}. Dans ce cas, f'(a)=l.
Calculons le taux d'accroissement \tau_{-7}=\dfrac{f\left(-7+h\right)-f\left(-7\right)}{h} :
\begin{aligned}\tau_{-7}&=\dfrac{3\left(-7+h\right)-5-\left(3\times\left(-7\right)-5\right)}{h} \\ &= \dfrac{-21+3h-5+21+5}{h}\\&=\dfrac{3h}{h}\\ &=3 \end{aligned}
Or, \lim\limits_{h\to0}3=3, et 3\in\mathbb{R}.
f est dérivable en -7 et f'\left(-7\right) = 3.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(1-3x\right)^2.
f est-elle dérivable en 2 ?
Soit h un nombre réel non nul.
D'après le cours, f est dérivable en a si et seulement si \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=l\in\mathbb{R}. Dans ce cas, f'(a)=l.
Calculons le taux d'accroissement \tau_{2}=\dfrac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} :
\begin{aligned}\tau_{2}&=\dfrac{\left(1-3\left(2+h\right)\right)^2-\left(1-3\times2\right)^2}{h} \\ &= \dfrac{\left(-5-3h\right)^2-25}{h}\\&=\dfrac{25+30h+9h^2-25}{h}\\&=\dfrac{30h+9h^2}{h}\\&=\dfrac{h\left(30+9h\right)}{h}\\&=30+9h\end{aligned}
Or, \lim\limits_{h\to0}30+9h=30, et 30\in\mathbb{R}.
f est dérivable en 2 et f'\left(2\right) = 30.