Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{e^{x^2+2x-1}-e^2}{ x-1}
Faire apparaître un taux d'accroissement
On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.
On pose, pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{x^2+2x-1}.
On remarque que f\left(1\right)=e^{1+2-1} = e^2.
Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 1 vaut T_1\left(x\right)=\dfrac{e^{x^2+2x-1} - e^2}{x-1}
Or f est dérivable sur \mathbb{R}, donc on sait que \lim\limits_{x \to 1}T_1\left(x\right)=f'\left(1\right)
Calculer la limite
Pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{x^2+2x-1}.
Donc f\left(x\right) = \left(2x+2\right)e^{x^2+2x-1}
On a donc f'\left(1\right) = \left(2+2\right)e^{1+2-1} =4e^2
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{e^{x^2+2x-1}-e^2}{ x-1}=4e^2
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{ x}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 0} 2\dfrac{e^x-1}{ x}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{x+3}-e^3}{ x}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{e^{4x}-e^4}{ x-1}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{e^{x}-e^2}{ x-2}